极坐标下二重积分问题?

因为对， f(x,y) = y , f(x,-y) = -f(x,y)。所以他在关于 y=0 对称的两个积分区域上，结果绝对值相等，符号相反。因而在关于 y=0 对称的整个积分区域上 $$ \iint_{\sigma}yd\sigma=0 $$

或者可以这样写，对于关于y=0对称的i积分区域，

$$ \iint_{\sigma} f(x,y)dxdy = \int dx \int_{-y_0}^{y_0}f(x,y)dy $$

而由于 f(x,y) 对 y 是一个奇函数，所以 $$\int_{-y_0}^{y_0}f(x,y)dy = 0 $$

你的解法大体是对的，但是:$$ \int_0^{2\pi} (\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\sin \theta ) d\theta = \int_0^{2\pi} \frac{1}{2}d\theta +\int_0^{2\pi}\frac{1}{3}\sin \theta d\theta$$

你的前一项漏了积分，直接变成 1/2 了。然后，注意 cos(2 pi) = cos(0) = 1。