引言

最高频 K 项问题是最常见的一类海量数据面试题，问题的形式通常是找到一个大文件或者数据流中出现频率最高的 K 项。对于海量数据类问题，合理利用内存资源和计算资源通常是问题的难点所在，对于最高频 K 项问题，需要考虑的必要条件有两个

• 是否需要精确的 Top K 结果
• 数据是离线还是在线的

本文将从最简单的数组最大 K 项问题入手，分别讨论离线在线算法的区别，然后延伸到最高频 K 项并给出一些常见问题的解法。

铺垫：整数数组最大 K 项

整数数组最大 K 项可以使用离线算法和在线算法两种方式解决。

离线算法

使用快速选择算法（Quick Select），快速选择是一种基于快速排序的算法，可以在 O(N) 的时间内找到数组的第K大的数，然后再扫描一次整个数组就可以得到前K大的数。

快速选择算法的大致过程如下：

1. 选择一个枢轴：从数组中随机选择一个元素作为枢轴。

2. 分割数组：重排数组，使得所有大于枢轴的元素都位于它的左边，所有小于或等于枢轴的元素位于它的右边。

3. 递归搜索：

   • 如果枢轴的位置恰好是第K大的位置，那么它左边的所有元素就是前K大的元素。
   • 如果枢轴的位置大于K，说明所求的前K大元素都在枢轴的左边，对左边的数组递归执行这一过程。
   • 如果枢轴的位置小于K，说明前K大元素包含了枢轴和它左边的所有元素，还需要在右边的数组中寻找更多的大元素，对右边的数组递归执行这一过程。

使用 C++ 实现的代码如下：

int partition(std::vector<int>& arr, int left, int right) {
    // 选取最右侧的元素作为枢轴
    int pivot = arr[right];
    int i = left;
    for (int j = left; j < right; j++) {
        // 将小于等于枢轴的元素移动到左边
        if (arr[j] <= pivot) {
            std::swap(arr[i], arr[j]);
            i++;
        }
    }
    std::swap(arr[i], arr[right]);
    return i;
}

int quickSelect(std::vector<int>& arr, int left, int right, int K) {
    // 基本边界条件，当数组中只有一个元素时
    if (left == right) {
        return arr[left];
    }

    int pivotIndex = partition(arr, left, right);
    
    // 根据枢轴的位置，决定下一步是左边还是右边
    if (K == pivotIndex) {
        return arr[pivotIndex];
    } else if (K < pivotIndex) {
        return quickSelect(arr, left, pivotIndex - 1, K);
    } else {
        return quickSelect(arr, pivotIndex + 1, right, K);
    }
}

在线算法

离线算法中，需要扫描数组两遍，第一次求得第 K 大，第二遍求得前 K 大。如果数据以数据流的形式给出，只能遍历一次，这种算法即为在线算法。这个问题中，可以使用数据结构堆来解决。

堆（Heap） 是一种特别的完全二叉树，在堆结构中，树的每个父节点都满足特定的顺序关系（堆性质）与其子节点：

• 在最大堆（max-heap）中，每个父节点的值都大于或等于其子节点的值；
• 在最小堆（min-heap）中，每个父节点的值都小于或等于其子节点的值。

因此 堆 支持 O(logN) 的插入，O(1) 的求最大值/最小值，O(logN)删除最值（pop）

最直观的想法是使用最大堆，在每次 Top K 操作时，就 pop 堆 K 次。但是当 K 远小于 N 时，必须维护所有整数在堆中，在插入新元素时的时间复杂度不是最优的。

在这个问题场景中，不需要删除操作，数据只增不减，因此维护那些已经低于 K 名的数据是不必要的。可以使用最小堆来维护前 K 名，当插入时判断是否比当前第 K 名大。这样便优化了时间和空间的复杂度。

最高频 K 项的离线算法

基于最大 K 项的离线算法，最直接的做法是哈希表加最小堆。

1. 用哈希表统计所有项的出现次数
2. 循环每一个出现过的项，用最大K项的方法，获得最大的前K项。

第一步统计所有单词的出现次数，需要 O(N) 的空间和 O(N) 的时间。第二步需要 O(K) 的空间和 O(NlogK) 的时间。总的时间耗费是 O(N log K)，空间耗费是 O(N)。

分布式提速

当面对海量数据时，即使仅仅全部扫描一遍也会消耗大量的时间，面对理论最优的时间复杂度 O(N log K)，想要提速只能利用分布式计算资源。

Map Reduce 是谷歌分布式三驾马车（Map Reduce、Big Table 和 Google File System）中用于进行分布式计算的。

MapReduce 主要由两个阶段组成：Map 阶段和 Reduce 阶段，两者之间通常还有一个 Shuffle 阶段：

1. Map 阶段：

   • 输入：输入数据通常是键值对形式的数据集。
   • 处理：Map 函数处理输入数据，每个 Map 函数运行在输入数据的一个子集上。它处理数据并产生中间键值对。
   • 输出：输出是中间键值对，这些键值对根据键进行排序，并准备传递给 Reduce 阶段。

2. Shuffle 阶段：

   • 在 Map 和 Reduce 之间，系统自动进行 Shuffle 操作。
   • Shuffle 过程负责将所有 Map 阶段输出的数据根据键进行排序（如果尚未排序）和分组，确保相同键的所有值都传递到同一个 Reduce 函数。

3. Reduce 阶段：

   • 输入：输入是按键分组的中间数据。
   • 处理：每个 Reduce 函数接收一个键和与该键相关的值集合，然后对这些值进行合并或归纳以形成一个较小的值集（通常是单个值或一个较小的值集）。
   • 输出：输出是经过处理的最终结果，例如键和它的累计结果。

最终，每个 Reducer 都会返回自己数据的 Top K，只需要从多个 Top K 中过一遍就可以得到全体数据的 Top K

处理内存问题

在之前的算法中，空间复杂度始终为 O(N)。也就意味着需要将所有数据加载进内存中，即使使用了分布式计算，也存在无法全部加载的可能。

针对这个问题，可以使用哈希算法解决。利用哈希函数对于同一个 key 会返回一个固定的，无规律的整数值的特点，可以计算每个数据的哈希值，然后对哈希值取模从而将数据分成若干份（取决于取模的数字）。对于每份数据再分别导入内存处理。

最高频 K 项的在线算法

在在线场景中，没有第二次从头访问数据的机会。最直观的想法是对哈希表和堆封装在一起，一边计数一边比较 Top K。

在标准在线算法中，空间复杂度与数据流中流过的数据大小总和有关。如果希望节约空间，则必须牺牲掉一部分精确性，如 Top K 内的排名颠倒或 排名 K+1 的数据误入等。如果对精确性要求较低，则可以选择用精度换空间，如 HyperLogLog 和 Misra-Gries摘要算法 等。

问题实例

最近7天的热门歌曲

问题描述：设计一个听歌统计系统，返回用户 7 天内听的最多 10 首的歌

方案一：离线算法

使用系统日志定时进行统计，统计时使用标准的离线算法：哈希表加最小堆。可以使用分布式计算和哈希算法优化时间和空间。

这种方案的缺点是实时性较差，即榜单能否及时反映出热点数据，因为具体的统计过程很难在较短的时间内完成（如5分钟），如果实时性变高则难以完成。

方案二：在线算法

此问题与基础 Top K 问题的区别在于有时间窗口限制，要及时丢弃7天前的数据，同时7天内跌出前10名的数据有可能重新回到前10名。

针对问题的特点和离线算法的缺点，可以使用基于桶的统计方法。

• 聚合（Aggregate） ：将用户的同个记录，按照1小时为单位进行一次聚合（Aggregate），即整合成一个 Hash 表，Key是歌曲的id，Value是歌曲在这1小时之内被播放的次数，每个小时内的数据就是一个桶（Bucket）

• 滑动窗口（Sliding Window） ：7天的话，只需要在内存中保存 7 * 24 = 144 个桶，随着时间轴的推移，旧的桶则可以被删除。每次需要获得 Top 10 的时候，则将这 144 个桶的结果进行合并即可。

这种方法的优点在于，对实时性的适应度变高了，根据实时性的要求调整桶的间隔即可。

相关问题

1. 对内存要求高，无法将桶全部加载进内存怎么办？ 允许一定结果误差，将每个桶局部统计中最小的部分删除

2. 具体在什么位置存储桶？ 同时存储于内存和硬盘中，如果因为宕机丢失数据可以利用硬盘数据恢复

3. 每次用户查询都会进行统计吗？ 不会，定期完成统计后储存在数据库和缓存中供用户查询

4. 如果实时性要求非常高，需要精确到秒为单位，如何快速获得最近7天的Top10？ 必须利用大内存在哈希表和堆中保存全部数据