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Field Play:Runge-Kutta

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引子

Filed Play:简介中提到了这个方法,查资料了解了一下。

相关概念

极限

有时不能直接计算某个值,但可以看看逐渐接近时的情况,看下面的例子:

Field Play:Runge-Kutta

x = 1 时,发现结果是 0/0 ,这个在数学上是未定式,是不确定的。那看看接近的情况:

xf(x)
0.51.5
0.91.9
0.991.99
0.99991.9999
0.9999991.999999

发现当 x 接近 1 的时候,f(x) 越来越接近 2 ,这种情况就是极限

我们可以说当 x 趋近 1 时,f(x) 的极限是 2 ,用符号表示就是:

Field Play:Runge-Kutta

更加正式的定义见这里

导数

设函数 f(x) 在 x0 有定义,如果以下极限存在:

Field Play:Runge-Kutta

则称 f(x) 在 x0 处可导,上述极限值为 f(x) 在 x0 处的导数,记作 f'(x0) 。

导数描述的是函数的变化率,在几何中可以通过导数计算出某一点切线的斜率。

求导法则见这里

微分

设函数 y=f(x) 在 x0 处连续,若存在实数 A ,使得:

Field Play:Runge-Kutta

其中 △x -> 0 ,则称 f(x) 在 x0 处可微,线性部分 A△x 为 f(x) 在 x0 处的微分,记作 dy 。

微分的几何意义是线性替代,线性替代的思想可以推广至高阶替代。

更加详细的介绍见这里

微分方程

微分方程指的是含有函数及其导数的方程。微分方程中有的有无穷多解,有的无解,有的则仅有有限个解。

微分方程的阶数取决于方程中出现的最高次导数阶数。

  • 常微分方程:仅含有一个独立变量的微分方程。
  • 偏微分方程:函数包含两个或两个以上的独立变量。
  • 特解:满足微分方程的某一个解。
  • 通解:满足微分方程的一组解。
  • 初值问题:满足初值条件的常微分方程的解。
  • 单步法:计算下一个点的值 yn+1 只需要用到前面一个点的值 yn 。
  • 多步法:计算下一个点的值 yn+1 需要用到前面 m 个点的值 ym 。

更多信息见这里这里

Runge-Kutta

龙格-库塔法是一种求解常微分方程数值解的单步算法。其中有一个在工程上应用很广泛,称为 RK4 。

对于一阶微分方程初值问题:

Field Play:Runge-Kutta

其中,t0 为初始时间(已知常数),y0为初始状态(已知向量),f(t,y) 是关于时间 t 和状态 y 的函数(已知函数)。

RK4 求解算法为:

Field Play:Runge-Kutta

其中:

Field Play:Runge-Kutta

h 为时间步长。

参考资料