JAVASCRIPT遇到《九章算术》-卷第一 方田 （1）方田、里田
小伙伴们大家好啊。
我们从这一章节开始解读正文部分的内容，先看标题。
原文：
卷第一 方田
魏 刘徽 注
唐朝议大夫行太史令上轻车都尉臣李淳风等奉敕注释
方田【以御田畴界域】
《九章算术》第一卷标题“方田”，根据注解“以御田畴界域”，说明《方田》这一卷的内容是用于界定田地的范围。范围就是面积和周常，由此可知方田这一卷应该主要涉及面积、长度的计算。
原文：
今有田广十五步，从十六步[1]。问为田几何？
答曰：一亩。
又有田广十二步，从十四步。问为田几何？
答曰：一百六十八步。【图从十四，广十二。[2]】
方田
术曰：广从步数相乘得积步。
【此积谓田幂。凡广从相乘谓之幂。】
【臣淳风等谨按：经云广从相乘得积步，注云广从相乘谓之幂，观斯注意，积幂义同。以理推之，固当不尔。何则？幂是方面单布之名，积乃众数聚居之称。循名责实，二者全殊。虽欲同之，窃恐不可。今以凡言幂者据广从之一方；其言积者举众步之都数。经云相乘得积步，即是都数之明文。注云谓之为幂，全乖积步之本意。此注前云积为田幂，于理得通。复云谓之为幂，繁而不当。今者注释，存善去非，略为料简，遗诸后学。】
以亩法二百四十步除之，即亩数。百亩为一顷。
【臣淳风等谨按：此为篇端，故特举顷、亩二法。余术不复言者，从此可知。一亩田，广十五步，从而疏之，令为十五行，即每行广一步而从十六步。又横而截之，令为十六行，即每行广一步而从十五步。此即从疏横截之步，各自为方。凡有二百四十步。为一亩之地步数正同。以此言之，即广从相乘得积步，验矣。二百四十步者，亩法也。百亩者，顷法也。故以除之，即得。】
今有田广一里[3]，从一里。问为田几何？
答曰：三顷七十五亩。
又有田广二里，从三里。问为田几何？
答曰：二十二顷五十亩。
里田
术曰：广从里数相乘得积里。以三百七十五乘之，即亩数。
【按此术，广从里数相乘得积里。方里之中有三顷七十五亩，故以乘之，即得亩数也。】
注释：
【1】广：宽。从：长。
【2】刘徽注图已经遗失，李潢《九章算术细草图说》中的补图如图。
【3】1里=300步。
我们看到方田、里田，这两个问题类型本质都是求方形田地面积的问题，只是单位换算上有区别。也是因此，我把这两部分放在一个章节来讲。
方田部分。
由于涉及单位比较多，这里涉及了一个长度单位“步”，三个面积单位“步”“亩”“倾”。
我们先来理清单位换算关系。面积单位“步”，根据原文说法，是长一步宽一步的方形的面积，以现代人习惯，应该称为“平方步”，为了区分，后面也称面积单位“步”为“平方步”。因为这里是书的开头，所以介绍了一下换算关系。根据方田术中提到“以亩法二百四十步除之，即亩数。百亩为一顷。”，可以得出单位换算关系：1亩=240平方步，1顷=100亩。
接下来我们来看求面积方法，原文“方田术曰：广从步数相乘得积步。”，可知宽度步数乘长度步数得出面积的（平方）步数。（实际上就是小学最开始接触到的基础乘法，加上一个面积单位换算。）
里田部分。
这里说的“里田”，按我个人的理解，就是边长以“里”为单位的（方形）田地。这里同样涉及一个长度单位“里”和面积单位“里”，同理面积单位“里”应该称为“平方里”。
根据“里田术曰：广从里数相乘得积里。以三百七十五乘之，即亩数。”，很容易理解宽度里数乘长度里数得出面积（平方）里数。后面又告诉我们，平方里数乘375就能得到亩数，但是没告诉我们为什么，注解中也没有说明。
这里就涉及到一个单位换算关系的隐藏知识，原文中没有提到的“里”和“步”的换算，应该是1里=300步。结合方田中说明的换算关系，1平方里=300步*300步=90000平方步=90000/240亩=375亩，这样就得到了“平方里”和“亩”之间的换算关系。（我猜注解没有提到换算关系，是因为做注解时也是1里=300步，与原文中没有差异，不会产生理解障碍。）
在理解了“面积=宽*长”和长度单位、面积单位换算关系后，就很容易理解原文中的四个问题了：
（1）今有田广十五步，从十六步。问为田几何？ 答曰：一亩。
15 * 16 = 240平方步 = 1亩
（2）又有田广十二步，从十四步。问为田几何？ 答曰：一百六十八步。
12 * 14 = 168平方步
（好吧，这个问题连单位换算都没有。）
（3）今有田广一里，从一里。问为田几何？ 答曰：三顷七十五亩。
1 * 1 = 1平方里 * 375亩/平方里 =（375亩）/（100亩/顷）= 3顷75亩
（4）又有田广二里，从三里。问为田几何？ 答曰：二十二顷五十亩。
2 * 3 = 6平方里 * 375亩/平方里 =（2250亩）/（100亩/顷）= 22顷50亩
虽然这几个问题在理解单位换算关系后，基于我们现有的知识体系，都是很简单的问题。但是不能否认的是，这确实是基于实际应用产生的问题。所以当我们也本着解决实际问题的心态，来用代码实现《九章算术》中的“术”，或许会有不同的收获。
因为方田术、里田术，都是整数乘法相关的问题，所以我准备使用同一个函数来实现这两部分内容涉及的计算。
显然，需要的输入是田地的长和宽，返回值是田地的面积。
我来说一下我的分析过程：
核心计算是“面积=长*宽”，实现很简单，比较复杂的是需要考虑到单位换算问题。输入需要判断以“里”为单位，还是以“步”为单位；输出需要换算为“XX顷XX亩XX平方步”的形式。
我们依旧采用json作为输入输出。
输入：包含四个字段{长度里数，长度步数，宽度里数，宽度步数}。
输出：包含三个字段{面积顷数，面积亩数，面积平方步数}。
先把输入的长宽统一为以“步”为单位，计算出以“平方步”为单位的面积，再换算为“XX顷XX亩XX平方步”的形式。
计算过程：
总长度步数 = 长度里数 * 300 + 长度步数
总宽度步数 = 宽度里数 * 300 + 宽度步数
总面积平方步数 = 总长度步数 * 总宽度步数
面积顷数 = （总面积平方步数 /（240 * 100））取整
面积亩数 = （（总面积平方步数 %（240 * 100））/ 240)取整
面积平方步数 = （总面积平方步数 %（240 * 100））% 240
【注】：“%”是取余数的操作，A%B就是求A除以B的余数。
理清了计算过程，还需要考虑一下错误处理，提高代码的健壮性。这里只涉及整数乘法，暂时不用考虑输入小数的问题。我们要计算的是土地面积，所以有约束条件，长宽都必须是正整数，即需要同时满足下面条件：
长度里数<0 || 长度步数<0 || 宽度里数<0 || 宽度步数<0 为假
长度里数>0 || 长度步数>0 为真
宽度里数>0 || 宽度步数>0 为真
【注】：“&&”表示与逻辑关系，“||”表示或逻辑关系，“!”表示非逻辑关系。
接下来把这个计算过程转换为代码。
输入：{长度里数，长度步数，宽度里数，宽度步数}
输出：{面积顷数，面积亩数，面积平方步数}
代码：
function chOne01(input){//以json格式输入：长度里数lenLi，长度步数lenStep，宽度里数widLi，宽度步数widStep
let lenLi = input.lenLi;
let lenStep = input.lenStep;
let widLi = input.widLi;
let widStep = input.widStep;
if(lenLi < 0 || lenStep < 0 || widLi < 0 || widStep < 0){ //过滤错误输入
return {"code":"001","msg":"长宽不能为负数，请重新输入"};
}
if(!(lenLi > 0 || lenStep > 0)){
return {"code":"002","msg":"长度不能为0，请重新输入"};
}
if(!(widLi > 0 || widStep > 0)){
return {"code":"003","msg":"宽度不能为0，请重新输入"};
}
length = lenLi * 300 + lenStep; //把长度换算为以步为单位
width = widLi * 300 + widStep; //把宽度换算为以步为单位
area = length * width; //计算以平方步为单位的面积
let qing = Math.floor(area / (100 * 240)); //计算面积顷数
let mu = Math.floor((area % (100 * 240)) / 240); //计算面积亩数
let step = (area % (100 * 240)) % 240; //计算面积平方步数
return {"qing":qing,"mu":mu,"step":step}; //以json格式返回结果
}
调用代码及运行结果：
let input = {"lenLi":1,"lenStep":1,"widLi":1,"widStep":1};
console.log(chOne01(input)); //调用方法在控制台输出结果
运行结果：
PS D:\WorkSpace\JSWork\test> node "d:\WorkSpace\JSWork\test\chOne01.js"
{ qing: 3, mu: 77, step: 121 }