当时说大概率在面试不会出的题目，在旷视二面出了

旷视科技 面试原题

昨天在翻看读者历史留言的时候，无意看到一条几个月前的留言。

当时这位读者投稿了旷视科技的二面算法原题。

而投稿的题目，我印象很深，当时我还在日更 LC 题解的时候，曾作为 LC 每日一题出过。

那天还有群里小伙伴问过：这么难的题有必要掌握吗？

我当时给的答复大概是：将知识拆开看来，不算冷门，但企业笔试面试大概率不会出这样的题。

结果读者投稿这道题出现在了旷视二面 🤣

啊？旷视的区分度果然在字节跳动之上。

一起来看看这道题。

题目描述

平台：LeetCode

题号：805

给定你一个整数数组 nums。

我们要将 nums 数组中的每个元素移动到 A 数组 或者 B 数组中，使得 A 数组和 B 数组不为空，并且 average(A) == average(B) 。

如果可以完成则返回 true， 否则返回 false。

注意：对于数组 arr,  average(arr) 是 arr 的所有元素除以 arr 长度的和。

示例 1:

输入: nums = [1,2,3,4,5,6,7,8]

输出: true

解释: 我们可以将数组分割为 [1,4,5,8] 和 [2,3,6,7], 他们的平均值都是4.5。

示例 2:

输入: nums = [3,1]

输出: false

提示:

• 1<=nums.length<=301 <= nums.length <= 301<=nums.length<=30
• 0<=nums[i]<=1040 <= nums[i] <= 10^40<=nums[i]<=104

折半搜索 + 二进制枚举 + 哈希表 + 数学

提示一：将长度为 nnn，总和为 sumsumsum 的原数组划分为两组，使得两数组平均数相同，可推导出该平均数 avg=sumnavg = \frac{sum}{n}avg=nsum​

若两数组平均数相同，则由两数组组成的新数组（对应原数组 nums）平均数不变，而原数组的平均数可直接算得。

提示二：原数组长度为 303030，直接通过「二进制枚举」的方式来做，计算量为 2302^{30}230，该做法无须额外空间，但会 TLE。

所谓的直接使用「二进制枚举」来做，是指用二进制表示中的 0 和 1 分别代表在划分数组两边。

如果直接对原数组进行「二进制枚举」，由于每个 nums[i]nums[i]nums[i] 都有两种决策（归属于数组 A 或 B），共有 2302^{30}230 个状态需要计算。同时每个状态 state 而言，需要 O(n)O(n)O(n) 的时间复杂度来判定，但整个过程只需要有限个变量。

因此直接使用「二进制枚举」是一个无须额外空间 TLE 做法。

提示三：空间换时间

我们不可避免需要使用「枚举」的思路，也不可避免对每个 nums[i]nums[i]nums[i] 有两种决策。但我们可以考虑缩减每次搜索的长度，将搜索分多次进行。

具体的，我们可以先对 nums 的前半部分进行搜索，并将搜索记录以「二元组 (tot,cnt)(tot, cnt)(tot,cnt) 的形式」进行缓存（map 套 set），其中 tot 为划分元素总和，cnt 为划分元素个数；随后再对 nums 的后半部分进行搜索，假设当前搜索到结果为 (tot′,cnt′)(tot', cnt')(tot′,cnt′)，假设我们能够通过“某种方式”算得另外一半的结果为何值，并能在缓存结果中查得该结果，则说明存在合法划分方案，返回 true。

通过「折半 + 缓存结果」的做法，将「累乘」的计算过程优化成「累加」计算过程。

提示四：何为“某种方式”

假设我们已经缓存了前半部分的所有搜索结果，并且在搜索后半部分数组时，当前搜索结果为 (tot′,cnt′)(tot', cnt')(tot′,cnt′)，应该在缓存结果中搜索何值来确定是否存在合法划分方案。

假设存在合法方案，且在缓存结果应当被搜索的结果为 (x,y)(x, y)(x,y)。我们有 tot′+xcnt′+y=avg=sumn\frac{tot' + x}{cnt' + y} = avg = \frac{sum}{n}cnt′+ytot′+x​=avg=nsum​。

因此我们可以直接枚举系数 kkk 来进行判定，其中 kkk 的取值范围为 [max⁡(1,cnt′),n−1][\max(1, cnt'), n - 1][max(1,cnt′),n−1]，结合上式算得 t=k×sumnt = k \times \frac{sum}{n}t=k×nsum​，若在缓存结果中存在 (t−tot′,k−cnt′)(t - tot', k - cnt')(t−tot′,k−cnt′)，说明存在合法方案。

Java 代码：

class Solution {
    public boolean splitArraySameAverage(int[] nums) {
        int n = nums.length, m = n / 2, sum = 0;
        for (int x : nums) sum += x;
        Map<Integer, Set<Integer>> map = new HashMap<>();
        for (int s = 0; s < (1 << m); s++) {
            int tot = 0, cnt = 0;
            for (int i = 0; i < m; i++) {
                if (((s >> i) & 1) == 1) {
                    tot += nums[i]; cnt++;
                }
            }
            Set<Integer> set = map.getOrDefault(tot, new HashSet<>());
            set.add(cnt);
            map.put(tot, set);
        }
        for (int s = 0; s < (1 << (n - m)); s++) {
            int tot = 0, cnt = 0;
            for (int i = 0; i < (n - m); i++) {
                if (((s >> i) & 1) == 1) {
                    tot += nums[i + m]; cnt++;
                }
            }
            for (int k = Math.max(1, cnt); k < n; k++) {
                if (k * sum % n != 0) continue;
                int t = k * sum / n;
                if (!map.containsKey(t - tot)) continue;
                if (!map.get(t - tot).contains(k - cnt)) continue;
                return true;
            }
        }
        return false;
    }
}

C++ 代码：

class Solution {
public:
    bool splitArraySameAverage(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size(), m = n / 2, sum = 0;
        for (int x : nums) sum += x;
        map<int, unordered_set<int>> hashMap;
        for (int s = 0; s < (1 << m); s++) {
            int tot = 0, cnt = 0;
            for (int i = 0; i < m; i++) {
                if ((s >> i) & 1) {
                    tot += nums[i]; cnt++;
                }
            }
            hashMap[tot].insert(cnt);
        }
        for (int s = 0; s < (1 << (n - m)); s++) {
            int tot = 0, cnt = 0;
            for (int i = 0; i < (n - m); i++) {
                if ((s >> i) & 1) {
                    tot += nums[i + m]; cnt++;
                }
            }
            for (int k = max(1, cnt); k < n; k++) {
                if (k * sum % n != 0) continue;
                int t = k * sum / n;
                if (hashMap.count(t - tot) == 0) continue;
                if (!hashMap[t - tot].count(k - cnt)) continue;
                return true;
            }
        }
        return false;
    }
};

Python 代码：

from collections import defaultdict

class Solution:
    def splitArraySameAverage(self, nums: List[int]) -> bool:
        n, m = len(nums), len(nums) // 2
        sum_nums = sum(nums)
        hash_map = defaultdict(set)
        for s in range(1 << m):
            tot = cnt = 0
            for i in range(m):
                if ((s >> i) & 1):
                    tot += nums[i]
                    cnt += 1
            hash_map[tot].add(cnt)
        for s in range(1 << (n - m)):
            tot = cnt = 0
            for i in range(n - m):
                if ((s >> i) & 1):
                    tot += nums[i + m]
                    cnt += 1
            for k in range(max(1, cnt), n):
                if (k * sum_nums) % n != 0: continue
                t = (k * sum_nums) // n
                if (t - tot) not in hash_map: continue
                if (k - cnt) not in hash_map[t - tot]: continue
                return True
        return False

TypeScript 代码：

function splitArraySameAverage(nums: number[]): boolean {
    let n = nums.length, m = Math.floor(n / 2), sum = 0;
    for (let x of nums) sum += x;
    let map = new Map();
    for (let s = 0; s < (1 << m); s++) {
        let tot = 0, cnt = 0;
        for (let i = 0; i < m; i++) {
            if (((s >> i) & 1) == 1) {
                tot += nums[i]; cnt++;
            }
        }
        let set = map.get(tot) || new Set();
        set.add(cnt);
        map.set(tot, set);
    }
    for (let s = 0; s < (1 << (n - m)); s++) {
        let tot = 0, cnt = 0;
        for (let i = 0; i < (n - m); i++) {
            if (((s >> i) & 1) == 1) {
                tot += nums[i + m]; cnt++;
            }
        }
        for (let k = Math.max(1, cnt); k < n; k++) {
            if (k * sum % n != 0) continue;
            let t = Math.floor(k * sum / n);
            if (!map.has(t - tot)) continue;
            if (!map.get(t - tot).has(k - cnt)) continue;
            return true;
        }
    }
    return false;
};

• 时间复杂度：对原数组前半部分搜索复杂度为 O(2n2)O(2^{\frac{n}{2}})O(22n​)；对原数组后半部分搜索复杂度为 O(2n2)O(2^{\frac{n}{2}})O(22n​)，搜索同时检索前半部分的结果需要枚举系数 k，复杂度为 O(n)O(n)O(n)。整体复杂度为 O(n×2n2)O(n \times 2^{\frac{n}{2}})O(n×22n​)
• 空间复杂度：O(2n2)O(2^{\frac{n}{2}})O(22n​)

我是宫水三叶，每天都会分享算法知识，并和大家聊聊近期的所见所闻。

欢迎关注，明天见。

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