大气散射（三）Rayleigh散射的数学

一、介绍

在先前的教程中，我们推导了一个方程，为着色器中的大气散射提供了一个良好的框架。然而，我们忽略了一个事实，即单个方程不会产生可信的结果。如果我们想要一个看起来不错的大气着色器，我们必须提升我们的数学水平。

光与物质之间的相互作用非常复杂，没有简单的方法可以完全描述它。建模大气散射实际上非常困难。问题的一部分源于大气不是一个均匀的介质。大气的密度和组成都随着海拔的变化而显著变化，几乎不可能提出一个“完美”的模型。

这就是为什么科学文献提出了几种散射模型，每一种都设计用来描述在特定条件下发生的光学现象的子集。行星展现出的大多数光学效应可以通过考虑两种不同的模型来重现：瑞利散射和米氏散射。这两种数学工具可以预测光在不同大小的物体上的散射方式。前者模拟了光如何被构成大部分空气的氧气和氮气分子反射。后者模拟了光在悬浮在较低大气中的较大化合物上的反射，如花粉、灰尘和污染物。

瑞利散射使天空呈现蓝色，日落呈现红色。米氏散射使云朵呈现白色。如果你想了解更多，我们将不得不更深入地探讨散射的数学原理。

二、瑞利散射

光子碰到粒子后会发生什么呢？要回答这个问题，首先需要以更正式的方式重新定义它。让我们想象一束光线穿过空旷的空间，突然与一个粒子碰撞。这种碰撞的结果根据粒子的大小和光的颜色而有很大的变化。如果粒子足够小（比如原子和分子），那么光的行为最好通过瑞利散射来预测。

发生的情况是一部分光继续其旅程而不受影响。然而，原始光的一小部分与粒子发生相互作用，并在所有方向上散射。然而，并非所有方向都会受到相等数量的光照。光子更有可能直接穿过粒子或者被弹回。相反，光子被偏转90度的可能性较小。这种行为可以在下面的图示中看到，蓝线显示了散射光的首选方向。

这种光学现象在瑞利散射方程S(λ,θ,h)S \left(\lambda, \theta, h \right )S(λ,θ,h) 中得到数学描述，该方程告诉了原始光 I0I_0I0​ 散射到方向 θ\thetaθ 的比率：

I=I0 S(λ,θ,h)I = I_0 \, S \left(\lambda, \theta, h\right)I=I0​S(λ,θ,h)

S(λ,θ,h)=π2(n2−1)22ρ(h)N⏟密度1λ4⏞波长(1+cos⁡2θ)⏟几何S \left(\lambda, \theta, h\right ) = \frac{\pi^2 \left(n^2-1 \right )^2}{2} \underset{\text{密度}}{\underbrace{\frac{\rho\left(h\right)}{N}}} \overset{\text{波长}}{\overbrace{\frac{1}{\lambda^4}}} \underset{\text{几何}}{\underbrace{\left(1+\cos^2\theta \right )}}S(λ,θ,h)=2π2(n2−1)2​密度Nρ(h)​​​λ41​​波长​几何(1+cos2θ)​​

其中：

• λ\lambdaλ：入射光的波长；
• θ\thetaθ：散射角度；
• hhh：点的海拔高度；
• n=1.00029n=1.00029n=1.00029：空气的折射率；
• N=2.504⋅1025N=2.504 \cdot 10^{25}N=2.504⋅1025：标准大气层的分子数密度。这是每立方米的分子数；
• ρ(h)\rho\left(h\right)ρ(h)：密度比。该数字在海平面上等于1，并随着 hhh 指数递减。关于这个函数有很多值得讨论的地方，我们将在本系列的未来文章中详细介绍。

关于瑞利散射的第一件事是，某些方向接收到的光比其他方向多。第二个重要方面是散射光的数量强烈依赖于入射光的波长 λ\lambdaλ 。下面的极坐标图可视化了三种不同波长的 S(λ,θ,0)S\left(\lambda, \theta, 0\right)S(λ,θ,0) 。在海平面处评估 SSS，通常称为在海平面处进行散射。

下面的图像显示了可见光谱连续范围的散射系数的渲染（代码可在ShaderToy上找到）。

图像中心是黑色的，因为该范围内的波长超出了可见光谱。

三、瑞利散射系数

瑞利散射方程指示了有多少光朝特定方向散射。然而，它并不告诉我们总共散射了多少能量。要计算这一点，我们需要考虑所有方向上的能量分散。这样的推导不适合心脏脆弱者；如果你对高级微积分不熟悉，这就是结果：

β(λ,h)=8π3(n2−1)23ρ(h)N1λ4\beta \left(\lambda, h \right )=\frac{8\pi^3 \left(n^2-1 \right )^2}{3} \frac{\rho\left(h\right)}{N} \frac{1}{\lambda^4}β(λ,h)=38π3(n2−1)2​Nρ(h)​λ41​

其中 β(λ,h)\beta \left(\lambda, h \right )β(λ,h) 表示单个粒子碰撞后散射的能量分数。这通常被称为瑞利散射系数。

如果你已经阅读了本教程的前一部分，你可能已经猜到了，β\betaβ 实际上是在定义线段 AB‾\overline{AB}AB 上的透射率 T(AB‾)T\left(\overline{AB}\right)T(AB) 中使用的消光系数。

不幸的是，计算 β\betaβ 非常昂贵。在我们将要编写的着色器中，我们将尽量节省尽可能多的计算。因此，将散射系数中的所有常数因子“提取”出来是很有用的，这样我们就得到了海平面（h=0）的瑞利散射系数 β(λ)\beta \left(\lambda \right )β(λ)：

β(λ)=8π3(n2−1)231N1λ4\beta \left(\lambda \right )=\frac{8\pi^3 \left(n^2-1 \right )^2}{3} \frac{1}{N} \frac{1}{\lambda^4}β(λ)=38π3(n2−1)2​N1​λ41​

这个新方程提供了另一种理解不同颜色的光如何被散射的方式。下图显示了作为波长函数的散射光所受到的影响。

正是散射系数 β\betaβ 和 λ\lambdaλ 之间的强烈关系最终使得日落的天空呈现红色。我们从太阳接收到的光子分布在广泛的波长范围内。瑞利散射告诉我们，地球大气中的原子和分子更强烈地散射蓝光，而不是绿光或红光。如果光线足够长，所有的蓝光都会被散射消失。这正是在日落时发生的情况，当光线几乎与地表平行时。

用同样的推理，我们可以理解为什么天空呈现出蓝色。太阳的光具有特定的方向。然而，它的蓝色成分会朝着每个方向散射。当你看向天空时，蓝光来自每个方向。

四、瑞利相位函数

将描述瑞利散射的原始方程 S(λ,θ)S \left(\lambda, \theta\right )S(λ,θ) 分解为两个组成部分。其中一个是我们刚刚推导出的散射系数 β(λ)\beta \left(\lambda\right )β(λ)，它调节了散射的强度。第二部分与散射的几何形状有关，控制着其方向：

S(λ,θ,h)=β(λ,h)γ(θ)S \left(\lambda, \theta, h\right ) = \beta \left(\lambda, h\right ) \gamma \left(\theta\right)S(λ,θ,h)=β(λ,h)γ(θ)

这个新量 γ(θ)\gamma \left(\theta\right)γ(θ) 可以通过将 S(λ,θ,h)S \left(\lambda, \theta, h\right )S(λ,θ,h) 除以 β(λ)\beta \left(\lambda\right )β(λ) 获得：

γ(θ)=S(λ,θ,h)β(λ)=\gamma \left(\theta\right) = \frac{S \left(\lambda, \theta, h\right )} {\beta \left(\lambda\right )}=γ(θ)=β(λ)S(λ,θ,h)​=

=π2(n2−1)22ρ(h)N1λ4(1+cos⁡2θ)⏟S(λ,θ,h) 38π3(n2−1)2Nρ(h)λ4⏟1β(λ)== \underset{S \left(\lambda, \theta, h\right )}{\underbrace{ \frac{\pi^2 \left(n^2-1 \right )^2}{2} \frac{\rho\left(h\right)}{N} \frac{1}{\lambda^4} \left(1+\cos^2\theta \right ) }} \, \underset{\frac{1}{\beta \left(\lambda\right )}}{\underbrace{ \frac{3}{8\pi^3 \left(n^2-1 \right )^2} \frac{N}{\rho\left(h\right)} \lambda^4 }}==S(λ,θ,h)2π2(n2−1)2​Nρ(h)​λ41​(1+cos2θ)​​β(λ)1​8π3(n2−1)23​ρ(h)N​λ4​​=

=316π(1+cos⁡2θ)= \frac{3}{16\pi} \left(1+\cos^2 \theta\right)=16π3​(1+cos2θ)

可以看出，这个新的表达式不依赖于入射光的波长。这可能看起来有些反直觉，因为我们确实知道瑞利散射更多地影响较短的波长。

然而，γ(θ)\gamma \left(\theta\right)γ(θ) 所模拟的是我们之前见过的偶极子的形状。术语 316π\frac{3}{16\pi}16π3​ 充当一个归一化因子，使所有可能角度θ\thetaθ的积分总和为1。更技术性地说，可以说在所有可能的立体角 4π4\pi4π 上的积分为1。

我们将在即将到来的部分中看到，将这两个组件分开将允许推导出更有效的方程。

五、快速回顾

• 瑞利散射方程：指示了在方向 θ\thetaθ上被偏转的光的比例。散射的强度取决于入射光的波长 λ\lambdaλ。 S(λ,θ,h)=π2(n2−1)22ρ(h)N1λ4(1+cos⁡2θ)S \left(\lambda, \theta, h\right ) = \frac{\pi^2 \left(n^2-1 \right )^2}{2} \frac{\rho\left(h\right)}{N} \frac{1}{\lambda^4} \left(1+\cos^2\theta \right )S(λ,θ,h)=2π2(n2−1)2​Nρ(h)​λ41​(1+cos2θ)

另外：

• 瑞利散射系数：指示了单次碰撞后散射的光的比例。

• 海平面处的瑞利散射系数：等同于β(λ,0)\beta \left(\lambda,0\right )β(λ,0)。创建这个额外的系数对于推导更有效的方程非常有帮助。

如果我们考虑粗略地对应于红色、绿色和蓝色的波长，我们会得到以下结果：

β(680nm)=0.00000519673\beta\left(680nm\right) = 0.00000519673β(680nm)=0.00000519673

β(550nm)=0.0000121427\beta\left(550nm\right) = 0.0000121427β(550nm)=0.0000121427

β(440nm)=0.0000296453\beta\left(440nm\right) = 0.0000296453β(440nm)=0.0000296453

这些结果是在考虑 h=0h=0h=0（这意味着ρ=1\rho=1ρ=1）时计算的。这只发生在海平面上，散射系数达到最大值。因此，它作为光线被散射的“基准”。

• 瑞利相位函数：控制散射几何，指示了在特定方向上丢失的光的相对比例。系数 316π\frac{3}{16\pi}16π3​ 作为归一化因子，使单位球面上的积分为 1。

• 密度比率：这是一个用于模拟大气密度的函数。它将在未来的帖子中正式介绍。如果你不介意数学的剧透，它被定义为：

其中 (H=8500) 米被称为尺度高度。