LeetCode 杨辉三角

给定一个非负整数 numRows，生成「杨辉三角」的前 numRows 行。

在「杨辉三角」中，每个数是它左上方和右上方的数的和。

示例 1:

输入:

numRows = 5

输出:

[[1],[1,1],[1,2,1],[1,3,3,1],[1,4,6,4,1]]

示例 2:

输入:

numRows = 1

输出:

[[1]]  

提示:

• 1 <= numRows <= 30

代码：

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> generate(int numRows) {
        vector<vector<int>> ans(numRows);
        for (int i = 0; i < numRows; ++i) {
            ans[i].resize(i + 1);
            ans[i][0] = ans[i][i] = 1;
            for (int j = 1; j < i; ++j) {
                ans[i][j] = ans[i - 1][j] + ans[i - 1][j - 1];
            }
        }
        return ans;
    }
};

思路：

杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。它是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合。

杨辉三角具有以下性质：

1. 每行数字左右对称，由 1 开始逐渐变大再变小，并最终回到 1。

2. 第 n 行（从 0 开始编号）的数字有 n+1 项，前 n 行共有 n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2}2n(n+1)​个数。

3. 第 n 行的第 m 个数（从 0 开始编号）可表示为可以被表示为组合数 C(n,m)，记作 Cnm\mathcal{C}_n^mCnm​或 (nm)\binom{n}{m}(mn​)，即为从 n个不同元素中取 m 个元素的组合数。我们可以用公式来表示它：Cnm=n!m!×(n−m)!\mathcal{C}_n^m=\dfrac{n!}{m!\times (n-m)!}Cnm​=m!×(n−m)!n!​

4. 每个数字等于上一行的左右两个数字之和，可用此性质写出整个杨辉三角。即第 nn 行的第 ii 个数等于第 n-1n−1 行的第 i-1i−1 个数和第 ii 个数之和。这也是组合数的性质之一，即 Cni=Cn−1i+Cn−1i−1\mathcal{C}_n^i=\mathcal{C}_{n-1}^i+\mathcal{C}_{n-1}^{i-1}Cni​=Cn−1i​+Cn−1i−1​。

5. (a+b)n(a+b)^n(a+b)n的展开式（二项式展开）中的各项系数依次对应杨辉三角的第 n 行中的每一项。 依据性质 4，我们可以一行一行地计算杨辉三角。每当我们计算出第 i 行的值，我们就可以在线性时间复杂度内计算出第 i+1 行的值。

复杂度分析：

• 时间复杂度：O(numRows2)。
• 空间复杂度：O(1)。不考虑返回值的空间占用。