775. 全局倒置与局部倒置 :「树状数组」&「数学」

题目描述

这是 LeetCode 上的 775. 全局倒置与局部倒置 ，难度为 中等。

Tag : 「树状数组」、「数学」

给你一个长度为 n 的整数数组 nums，表示由范围 [0,n−1][0, n - 1][0,n−1] 内所有整数组成的一个排列。

全局倒置 的数目等于满足下述条件不同下标对 (i,j)(i, j)(i,j) 的数目：

• 0<=i<j<n0 <= i < j < n0<=i<j<n
• nums[i]>nums[j]nums[i] > nums[j]nums[i]>nums[j]

局部倒置 的数目等于满足下述条件的下标 i 的数目：

• 0<=i<n−10 <= i < n - 10<=i<n−1
• nums[i]>nums[i+1]nums[i] > nums[i + 1]nums[i]>nums[i+1]

当数组 nums 中 全局倒置 的数量等于 局部倒置 的数量时，返回 true ；否则，返回 false 。

示例 1：

输入：nums = [1,0,2]

输出：true

解释：有 1 个全局倒置，和 1 个局部倒置。

示例 2：

输入：nums = [1,2,0]

输出：false

解释：有 2 个全局倒置，和 1 个局部倒置。

提示：

• n=nums.lengthn = nums.lengthn=nums.length
• 1<=n<=1051 <= n <= 10^51<=n<=105
• 0<=nums[i]<n0 <= nums[i] < n0<=nums[i]<n
• nums 中的所有整数 互不相同
• nums 是范围 [0,n−1][0, n - 1][0,n−1] 内所有数字组成的一个排列

树状数组

根据题意，对于每个 nums[i]nums[i]nums[i] 而言：

• 其左边比它大的 nums[j]nums[j]nums[j] 的个数，是以 nums[i]nums[i]nums[i] 为右端点的“全局倒置”数量，统计所有以 nums[i]nums[i]nums[i] 为右端点的“全局倒置”数量即是总的“全局倒置”数量 a

• 同时我们可以将每个 nums[i]nums[i]nums[i] 与前一个值进行比较，从而统计总的“局部倒置”数量 b，其中 iii 的取值范围为 [1,n−1)[1, n - 1)[1,n−1)

一个容易想到的做法是利用「树状数组」，虽然该做法没有利用到核心条件「numsnumsnums 是一个 [0,n−1][0, n - 1][0,n−1] 的排列」，但根据数据范围 nnn 可知该复杂度为 O(nlog⁡n)O(n\log{n})O(nlogn) 的做法可过，且依赖的条件更少，适用范围更广。

代码：

class Solution {
    int n;
    int[] tr;
    int lowbit(int x) {
        return x & -x;
    }
    void add(int x) {
        for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) tr[i]++;
    }
    int query(int x) {
        int ans = 0;
        for (int i = x; i > 0; i -= lowbit(i)) ans += tr[i];
        return ans;
    }
    public boolean isIdealPermutation(int[] nums) {
        n = nums.length;
        tr = new int[n + 10];
        add(nums[0] + 1);
        int a = 0, b = 0;
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            a += query(n) - query(nums[i] + 1);
            b += nums[i] < nums[i - 1] ? 1 : 0;
            add(nums[i] + 1);
        }
        return a == b;
    }
}

• 时间复杂度：O(nlog⁡n)O(n\log{n})O(nlogn)
• 空间复杂度：O(n)O(n)O(n)

数学

解法一中并没有利用到核心条件「numsnumsnums 是一个 [0,n−1][0, n - 1][0,n−1] 的排列」，我们可以从该条件以及两类倒置的定义出发进行分析。

提示一：由“局部倒置”组成的集合为由“全局倒置”组成的集合的子集

任意一个“局部倒置”均满足“全局倒置”的定义，因此要判定两者数量是否相同，可转换为统计是否存在「不满足“局部倒置”定义的“全局倒置”」。

提示二：何为不满足“局部倒置”定义的“全局倒置”

结合题意，若存在坐标 jjj 和 iii，满足 nums[j]>nums[i]nums[j] > nums[i]nums[j]>nums[i] 且 j+1<ij + 1 < ij+1<i，那么该倒置满足“全局倒置”定义，且不满足“局部倒置”定义。

若存在这样的逆序对，不满足，则有两类倒置数量不同。

提示三：考虑「如何构造」或「如何避免构造」不满足“全局倒置”定义的“局部倒置”

如果我们能够总结出「如何构造」或「如何避免构造」一个不满足“全局倒置”定义的“局部倒置” 所需的条件，问题可以转换为检查 nums 是否满足这样的条件，来得知 nums 是否存在不满足“全局倒置”定义的“局部倒置”。

我们可以结合「numsnumsnums 是一个 [0,n−1][0, n - 1][0,n−1] 的排列」来分析，若需要避免所有 nums[j]>nums[i]nums[j] > nums[i]nums[j]>nums[i] 的逆序对均不满足 j+1<ij + 1 < ij+1<i，只能是所有逆序对均由相邻数值产生。

代码：

class Solution {
    public boolean isIdealPermutation(int[] nums) {
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            if (Math.abs(nums[i] - i) >= 2) return false;
        }
        return true;
    }
}

• 时间复杂度：O(n)O(n)O(n)
• 空间复杂度：O(1)O(1)O(1)

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.775 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

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