754. 到达终点数字 : 逐步剖析如何取得最小步数

题目描述

这是 LeetCode 上的 754. 到达终点数字 ，难度为 中等。

Tag : 「数学」

在一根无限长的数轴上，你站在 0 的位置。终点在 target 的位置。

你可以做一些数量的移动 numMoves :

• 每次你可以选择向左或向右移动。
• 第 i 次移动（从  i == 1 开始，到 i == numMoves），在选择的方向上走 i 步。

给定整数 target，返回 到达目标所需的 最小 移动次数(即最小 numMoves ) 。

示例 1:

输入: target = 2

输出: 3

解释:
第一次移动，从 0 到 1 。
第二次移动，从 1 到 -1 。
第三次移动，从 -1 到 2 。

示例 2:

输入: target = 3

输出: 2

解释:
第一次移动，从 0 到 1 。
第二次移动，从 1 到 3 。

提示:

• −109 <=target<=109-10^9 <= target <= 10^9−109 <=target<=109
• target!=0target != 0target!=0

数学

提示一：数轴上的任意点都以起点（000 点）对称，只需要考虑对称点的任意一边

由于题目没有限制我们「不能到达哪些点」以及「出发的起始方向」，因此以起点为中心的左右两边对称。

即：左边所能到达任意一个点，都能通过调整所达路径的方向来将终点调整到右边。

同时由于起点是一个特殊的位置 000 点，因此相应的「正数点」和「负数点」对称，我们仅需考虑一边（例如正数域）即可。

提示二：先往靠近 target 的方向移动，到达或越过 target 的时候则停止

只考虑 target 为正的情况，我们假定起始先往靠近 target 的方向移动（即所有步数均为正值），根据是「到达」还是「越过」target 位置分情况讨论：

• 若能直接到达 target，此时消耗的必然是最小步数，可直接返回；
• 若越过了 target，假设此时消耗的步数为 kkk，所走的距离为 dist=k×(k+1)2>targetdist = \frac{k \times (k + 1)}{2} > targetdist=2k×(k+1)​>target，我们可以考虑是否需要增加额外步数来到达 target。

提示三：越过 target 时，如何不引入额外步数

若不引入额外步数，意味着我们需要将此前某些移动的方向进行翻转，使得调整后的 dist=targetdist = targetdist=target。

我们假设需要调整的步数总和为 tot，则有 dist−2×tot=targetdist - 2 \times tot = targetdist−2×tot=target，变形可得 tot=dist−target2tot = \frac{dist - target}{2}tot=2dist−target​。

若想满足上述性质，需要确保能找到这样的 tot，即 tot 合法，

不难推导出当 dist 和 target 差值为「偶数」时（两者奇偶性相同），我们可以找到这样的 tot，从而实现不引入额外步数来到达 target 位置。

由于我们的 distdistdist 是由数列 [1,2,3,...,k][1,2,3,...,k][1,2,3,...,k] 累加而来，因此必然能够在该数列 [1,2,3...k][1,2,3...k][1,2,3...k] 中通过「不重复选择某些数」来凑成任意一个小于等于 distdistdist 的数。

提示四：越过 target 时，如何尽量减少引入额外步数

当 dist 和 target 差值不为「偶数」时，我们只能通过引入额外步数（继续往右走）来使得，两者差值为偶数。

可以证明，最多引入步数不超过 444 步，可使用得两者奇偶性相同，即不超过 444 步可以覆盖到「奇数」和「偶数」两种情况。

根据 kkk 与 444 的余数关系分情况讨论：

• 余数为 000，即 k=4Xk = 4Xk=4X，由于 dist=k(k+1)2=4X(4X+1)2=2X(4X+1)dist = \frac{k(k+1)}{2} = \frac{4X(4X+1)}{2} = 2X(4X+1)dist=2k(k+1)​=24X(4X+1)​=2X(4X+1)，其中一数为偶数，distdistdist 为偶数；
• 余数为 111，即 k=4X+1k = 4X + 1k=4X+1，由于 dist=k(k+1)2=(4X+1)(4X+2)2=(4X+1)(2X+1)dist = \frac{k(k+1)}{2} = \frac{(4X+1)(4X+2)}{2} = (4X+1)(2X+1)dist=2k(k+1)​=2(4X+1)(4X+2)​=(4X+1)(2X+1)，两个奇数相乘为奇数，distdistdist 为奇数；
• 余数为 222，即 k=4X+2k = 4X + 2k=4X+2，dist=k(k+1)2=(4X+2)(4X+3)2=(2X+1)(4X+3)dist = \frac{k(k+1)}{2} = \frac{(4X+2)(4X+3)}{2} = (2X+1)(4X+3)dist=2k(k+1)​=2(4X+2)(4X+3)​=(2X+1)(4X+3)，两个奇数相乘为奇数，distdistdist 为奇数；
• 余数为 333，即 k=4X+3k = 4X + 3k=4X+3，dist=k(k+1)2=(4X+3)(4X+4)2=(4X+3)(2X+2)dist = \frac{k(k+1)}{2} = \frac{(4X+3)(4X+4)}{2} = (4X+3)(2X+2)dist=2k(k+1)​=2(4X+3)(4X+4)​=(4X+3)(2X+2)，其中一数为偶数，distdistdist 为偶数。

因此在越过 target 后，最多引入不超过 444 步可使得 dist 和 target 奇偶性相同。

提示五：如何不通过「遍历」或「二分」的方式找到一个合适的 k 值，再通过不超过 444 步的调整找到答案

我们期望找到一个合适的 k 值，使得 dist=k×(k+1)2<targetdist = \frac{k \times (k + 1)}{2} < targetdist=2k×(k+1)​<target，随后通过增加 k 值来找到答案。

利用求和公式 dist=k×(k+1)2dist = \frac{k \times (k + 1)}{2}dist=2k×(k+1)​，我们可以设定 k=⌊2×target)⌋k = \left \lfloor \sqrt{2 \times target}) \right \rfloork=⌊2×target​)⌋ 为起始值，随后逐步增大 k 值，直到满足「dist 和 target 奇偶性相同」。

Java 代码：

class Solution {
    public int reachNumber(int target) {
        if (target < 0) target = -target;
        int k = (int) Math.sqrt(2 * target), dist = k * (k + 1) / 2;
        while (dist < target || (dist - target) % 2 == 1) {
            k++;
            dist = k * (k + 1) / 2;
        }
        return k;
    }
}

TypeScript 代码：

function reachNumber(target: number): number {
    if (target < 0) target = -target
    let k = Math.floor(Math.sqrt(2 * target)), dist = k * (k + 1) / 2
    while (dist < target || (dist - target) % 2 == 1) {
        k++
        dist = k * (k + 1) / 2
    }
    return k
}

Python 代码：

class Solution:
    def reachNumber(self, target: int) -> int:
        if target < 0:
            target = -target
        k = int(math.sqrt(2 * target))
        dist = k * (k + 1) / 2
        while dist < target or (dist - target) % 2 == 1:
            k += 1
            dist = k * (k + 1) / 2
        return k

• 时间复杂度：O(1)O(1)O(1)
• 空间复杂度：O(1)O(1)O(1)

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.754 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

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