我们已经有了邱奇数的加、减和乘法。
但是现在lambda定义的邱奇数看上去无法互相比较，我们这里就考虑一下如何实现邱奇数的比较。
TRUE和FALSE
要想实现比较运算，我们首先要再lambda体系中定义TRUE和FALSE。
因为lambda演算中只有函数，所以我们思考一下，TRUE和FALSE应该是什么样的函数？
考虑到，我们一般使用布尔类型都是用于分支逻辑，所以我们把TRUE和FALSE设计成类似if和else的结构。
我们让TRUE和FALSE以柯里化的形式接受两个值，然后TRUE返回第一个值，FALSE返回第二个值：
TRUE=λx.λy.xFALSE=λx.λy.yTRUE = \lambda x.\lambda y.x \\
FALSE = \lambda x.\lambda y.yTRUE=λx.λy.xFALSE=λx.λy.y
这样我们就可以直接把这种布尔类型的函数当作if使用。我们调用某一布尔型函数：
(b x y)(b\ x\ y)(b x y)
这里等价于
if(b)
return x;
else
return y;
从数学的角度，这个形式完全没有问题，但是如果我们真正要落到可执行的程序代码，有时我们希望x或y不要进行计算，这时我们就还要稍微做一些处理，我们留待后文讨论。
判断是否是0
有了TRUE和FALSE，我们来考虑如何实现邱奇数的比较，首先我们来考虑一个基本的问题，判断一个邱奇数是否为0。
我们先来复习一下邱奇数：
ZERO=λf.λx.xONE=λf.λx.(f x)TWO=λf.λx.(f (f x))......
ZERO = \lambda f.\lambda x.x \\
ONE = \lambda f.\lambda x.(f\ x) \\
TWO = \lambda f.\lambda x.(f\ (f\ x)) \\
......ZERO=λf.λx.xONE=λf.λx.(f x)TWO=λf.λx.(f (f x))......
我们看到，除了0以外，其它邱奇数生成的lambda函数都至少会调用一次函数f。
于是我们可以构造一个把任何值变成FALSE的f，和一个值为TRUE的x。
isZero=λn.(n (λa.FALSE) TRUE)isZero = \lambda n.(n\ (\lambda a.FALSE)\ TRUE)isZero=λn.(n (λa.FALSE) TRUE)
这样我们就有了第一个比较运算。
大于等于和小于等于
这里我们要用到上一篇中的减法。我们来考虑一下，当我们用一个较小的数减掉一个较大的数，会发生什么。
根据predpredpred的实现方案，我们发现，这样的减法并不会产生负数，而是会固定得到0。
结合我们上一小节实现的 isZero，我们就可以得到大于等于和小于等于
lessOrEqual=λm.λn.(isZero (minus m n))greaterOrEqual=λm.λn.(isZero (minus n m))
lessOrEqual = \lambda m.\lambda n.(isZero\ (minus\ m\ n))\\
greaterOrEqual = \lambda m.\lambda n.(isZero\ (minus\ n\ m))lessOrEqual=λm.λn.(isZero (minus m n))greaterOrEqual=λm.λn.(isZero (minus n m))
逻辑运算：与、或、非
目前为止，我们仅仅得到了判断0、大于等于和小于等于两种比较运算。很容易想到，如果我们的布尔类型能进行布尔运算，我们就能够实现其它比较运算了。
我们先考虑与运算。其大致形态应该是：
and=λx.λy. ... and = \lambda x.\lambda y.\ ...and=λx.λy. ...
我们看下and运算的真值表：
| x | y | x && y |
|---|
| TRUE | TRUE | TRUE |
| TRUE | FALSE | FALSE |
| FALSE | TRUE | FALSE |
| FALSE | FALSE | FALSE |
不难发现，当x为TRUE时，其结果与y一致，当x为FALSE时，其结果必然为FALSE。
所以我们可以根据这个规律写出and
and=λx.λy.(x y FALSE) and = \lambda x.\lambda y.(x\ y\ FALSE)and=λx.λy.(x y FALSE)
同理我们可以写出or
or=λx.λy.(x TRUE y) or = \lambda x.\lambda y.(x\ TRUE\ y)or=λx.λy.(x TRUE y)
非运算则非常简单：
not=λx.(xFALSE TRUE) not = \lambda x.(x FALSE\ TRUE)not=λx.(xFALSE TRUE)
相等，大于，小于
有了逻辑运算，我们可以从大于等于和小于等于得到等于
equal=λm.λn.(and (lessOrEqual m n) (greaterOrEqual m n))equal = \lambda m.\lambda n.(and\ (lessOrEqual\ m\ n)\ (greaterOrEqual\ m\ n))equal=λm.λn.(and (lessOrEqual m n) (greaterOrEqual m n))
结合非运算，可以得到不等于：
notEqual=λm.λn.(not (equal m n))notEqual = \lambda m.\lambda n.(not\ (equal\ m\ n))notEqual=λm.λn.(not (equal m n))
有了不等于，再从大于等于和小于等于中得到大于和小于：
less=λm.λn.(and (lessOrEqual m n) (notEqual m n))greater=λm.λn.(and (greaterOrEqual m n) (notEqual m n))less = \lambda m.\lambda n.(and\ (lessOrEqual\ m\ n)\ (notEqual\ m\ n))\\
greater = \lambda m.\lambda n.(and\ (greaterOrEqual\ m\ n)\ (notEqual\ m\ n))less=λm.λn.(and (lessOrEqual m n) (notEqual m n))greater=λm.λn.(and (greaterOrEqual m n) (notEqual m n))
结语
到此，我们实现了邱奇数的比较运算，还获得了分支逻辑的能力，分支是达成图灵完备的重要条件之一，接下来我们只需要再获得循环的能力，就可以论证邱奇数的图灵完备性（注：事实上，历史中邱奇数的图灵完备性论证比结构化程序设计提出要早，所以它使用的是另外的方法）。
