函数式编程的数学基础（二）邱奇对，邱奇数减法

邱奇数的加法和乘法并不难理解。它们仅仅是在函数调用的基础上进行叠加。那么，是否有方法实现邱奇数的减法呢？

假设给我们一个邱奇数n，我们几乎没办法知道它的内部结构，我们能够对它做的操作仅有“调用”。

那么，倘若邱奇数可以实现减法，那么奥秘一定在于给邱奇数传入了特殊的参数。

邱奇数的减法实现较为繁琐，而且有多种思路。我们这里挑选其中较为容易理解的一种来讲解。

要实现邱奇数减法，实现一个减一运算是至关重要的。那么如何实现减一呢？

我们设想，假如我们传给邱奇数的函数f，能够接受和存储上一次调用的结果，即实现这样一个函数：

[a, b] => [b, b + 1]

那么，把它传给邱奇数调用n次之后，就可以得到n-1的结果了。

但是，在我们面前还有待解决的问题：lambda演算中并没有数组这样的数据结构，哪怕我们只需要存储2个邱奇数。那么我们就要考虑一下，如何实现这样的一种数据结构了。

邱奇对

存储2个函数（经典lambda演算中函数既是数据，又是操作）的数据结构被称作邱奇对。

我们首先考虑，假设有这么一种邱奇对，我们该如何使用它。

因为lambda演算中一切数据没有除了调用以外的方法，那么，邱奇对大体的使用方法可能，邱奇对p接受一个函数s，s能够接收到p中存储的数据x和y

所以邱奇对应该是一个这样形状的一个函数：

所以构造邱奇对的函数应该是这样的：

为了方便使用，我们可以实现一些常见的操作邱奇对的方法，比如取第一个first和取第二个second：

实际使用的时候，如果已经比较熟练，也可以不用first、second这些名称，直接写其内容。有了邱奇对，我们可以考虑实现减法了。

邱奇数的前一个数（减一运算）

"前一个"的英文是predecessor，我们可以利用前面的邱奇对实现这一函数。首先我们实现前文所讲的函数f，即：

const f = [a, b] => [b, b + 1]

这个函数的lambda版需要邱奇对和加一运算。加一运算的英文是successor，我们把函数名简写为succ。succ的实现很简单简单得多，我们这里不展开讲解了。

接下来我们实现这个f。

有了这个f，我们只需要把它对邱奇对<0,1>执行n次，就可以得到n - 1的值。

其中，ZEROZEROZERO和ONEONEONE的定义可以看上一篇。

有了succsuccsucc函数，我们可以轻易实现邱奇数减法。

其它思路

除了利用邱奇对，pred函数还有其它思路，它形式上更简洁，但推导过程更具有技巧性，此处我们仅仅给出其形式，供大家自行研究：

结语

到此，我们已经在lambda体系中实现了一个基础数据结构邱奇对和邱奇数的减法，四则运算中我们仅剩下除法运算还没有实现。

在接下来的几篇中，我们将会继续补全邱奇数的基本运算和一些编程所需的结构。