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【面试高频题】难度 2.5/5，转换「最长公共子序列」问题

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题目描述

这是 LeetCode 上的 583. 两个字符串的删除操作 ，难度为 中等。

Tag : 「最长公共子序列」、「序列 DP」

给定两个单词 word1 和 word2，找到使得 word1 和 word2 相同所需的最小步数，每步可以删除任意一个字符串中的一个字符。

示例：

输入: "sea", "eat"

输出: 2

解释: 第一步将"sea"变为"ea"，第二步将"eat"变为"ea"

提示：

  • 给定单词的长度不超过 500500500。
  • 给定单词中的字符只含有小写字母。

转换为 LCS 问题

首先，给定两字符 s1 和 s2，求经过多少次删除操作，可使得两个相等字符串。

该问题等价于求解两字符的「最长公共子序列」，若两者长度分别为 nnn 和 mmm，而最长公共子序列长度为 maxmaxmax，则 n−max+m−maxn - max + m - maxn−max+m−max 即为答案。

对「最长公共子序列（LCS）」不熟悉的同学，可以看 (题解) 1143. 最长公共子序列。

f[i][j]f[i][j]f[i][j] 代表考虑 s1s1s1 的前 iii 个字符、考虑 s2s2s2 的前 jjj 个字符（但最长公共子序列中不一定包含 s1[i]s1[i]s1[i] 或者 s2[j]s2[j]s2[j]）时形成的「最长公共子序列（LCS）」长度。

当有了「状态定义」之后，基本上「转移方程」就是呼之欲出：

  • s1[i]==s2[j] : f[i][j]=f[i−1][j−1]+1f[i][j]=f[i-1][j-1]+1f[i][j]=f[i−1][j−1]+1。代表 必然使用 s1[i]s1[i]s1[i] 与 s2[j]s2[j]s2[j] 时 LCS 的长度。
  • s1[i]!=s2[j] : f[i][j]=max(f[i−1][j],f[i][j−1])f[i][j]=max(f[i-1][j], f[i][j-1])f[i][j]=max(f[i−1][j],f[i][j−1])。代表 必然不使用 s1[i]s1[i]s1[i]（但可能使用s2[j]s2[j]s2[j]）时 和 必然不使用 s2[j]s2[j]s2[j]（但可能使用s1[i]s1[i]s1[i]）时 LCS 的长度。

可以发现，上述两种讨论已经包含了「不使用 s1[i]s1[i]s1[i] 和 s2[j]s2[j]s2[j]」、「仅使用 s1[i]s1[i]s1[i]」、「仅使用 s2[j]s2[j]s2[j]」和「使用 s1[i]s1[i]s1[i] 和 s2[j]s2[j]s2[j]」四种情况。

虽然「不使用 s1[i]s1[i]s1[i] 和 s2[j]s2[j]s2[j]」会被 f[i−1][j]f[i - 1][j]f[i−1][j] 和 f[i][j−1]f[i][j - 1]f[i][j−1] 重复包含，但对于求最值问题，重复比较并不想影响答案正确性。

因此最终的 f[i][j]f[i][j]f[i][j] 为上述两种讨论中的最大值。

一些编码细节：

通常会习惯性往字符串头部追加一个空格，以减少边界判断（使下标从 1 开始，并很容易构造出可滚动的「有效值」）。但实现上，不用真的往字符串中最佳空格，只需在初始化动规值时假定存在首部空格，以及对最后的 LCS 长度进行减一操作即可。

代码：

class Solution {
    public int minDistance(String s1, String s2) {
        char[] cs1 = s1.toCharArray(), cs2 = s2.toCharArray();
        int n = s1.length(), m = s2.length();
        int[][] f = new int[n + 1][m + 1];
        // 假定存在哨兵空格，初始化 f[0][x] 和 f[x][0]
        for (int i = 0; i <= n; i++) f[i][0] = 1;
        for (int j = 0; j <= m; j++) f[0][j] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= m; j++) {
                f[i][j] = Math.max(f[i - 1][j], f[i][j - 1]);
                if (cs1[i - 1] == cs2[j - 1]) f[i][j] = Math.max(f[i][j], f[i - 1][j - 1] + 1);
            }
        }
        int max = f[n][m] - 1; // 减去哨兵空格
        return n - max + m - max;
    }
}
  • 时间复杂度：O(n∗m)O(n * m)O(n∗m)
  • 空间复杂度：O(n∗m)O(n * m)O(n∗m)

序列 DP

上述解决方案是套用了「最长公共子序列（LCS）」进行求解，最后再根据 LCS 长度计算答案。

而更加契合题意的状态定义是根据「最长公共子序列（LCS）」的原始状态定义进行微调：定义 f[i][j]f[i][j]f[i][j] 代表考虑 s1s1s1 的前 iii 个字符、考虑 s2s2s2 的前 jjj 个字符（最终字符串不一定包含 s1[i]s1[i]s1[i] 或 s2[j]s2[j]s2[j]）时形成相同字符串的最小删除次数。

同理，不失一般性的考虑 f[i][j]f[i][j]f[i][j] 该如何计算：

  • s1[i]==s2[j]：f[i][j]=f[i−1][j−1]f[i][j] = f[i - 1][j - 1]f[i][j]=f[i−1][j−1]，代表可以不用必然删掉 s1[i]s1[i]s1[i] 和 s2[j]s2[j]s2[j] 形成相同字符串；
  • s1[i]!=s2[j]：f[i][j]=min⁡(f[i−1][j]+1,f[i][j−1]+1)f[i][j] = \min(f[i - 1][j] + 1, f[i][j - 1] + 1)f[i][j]=min(f[i−1][j]+1,f[i][j−1]+1)，代表至少一个删除 s1[i]s1[i]s1[i] 和 s2[j]s2[j]s2[j] 中的其中一个。

f[i][j]f[i][j]f[i][j] 为上述方案中的最小值，最终答案为 f[n][m]f[n][m]f[n][m]。

代码：

class Solution {
    public int minDistance(String s1, String s2) {
        char[] cs1 = s1.toCharArray(), cs2 = s2.toCharArray();
        int n = s1.length(), m = s2.length();
        int[][] f = new int[n + 1][m + 1];
        for (int i = 0; i <= n; i++) f[i][0] = i;
        for (int j = 0; j <= m; j++) f[0][j] = j;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= m; j++) {
                f[i][j] = Math.min(f[i - 1][j] + 1, f[i][j - 1] + 1);
                if (cs1[i - 1] == cs2[j - 1]) f[i][j] = Math.min(f[i][j], f[i - 1][j - 1]);
            }
        }
        return f[n][m];
    }
}
  • 时间复杂度：O(n∗m)O(n * m)O(n∗m)
  • 空间复杂度：O(n∗m)O(n * m)O(n∗m)

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.583 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

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转载自:https://juejin.cn/post/7240838046790664250
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