【区间求和问题】上下界分析 + 差分应用

题目描述

这是 LeetCode 上的 798. 得分最高的最小轮调 ，难度为 困难。

Tag : 「区间求和问题」、「差分」

给你一个数组 numsnumsnums，我们可以将它按一个非负整数 kkk 进行轮调，这样可以使数组变为 [nums[k],nums[k+1],...nums[nums.length−1],nums[0],nums[1],...,nums[k−1]][nums[k], nums[k + 1], ... nums[nums.length - 1], nums[0], nums[1], ..., nums[k-1]][nums[k],nums[k+1],...nums[nums.length−1],nums[0],nums[1],...,nums[k−1]] 的形式。此后，任何值小于或等于其索引的项都可以记作一分。

例如，数组为 nums=[2,4,1,3,0]nums = [2,4,1,3,0]nums=[2,4,1,3,0]，我们按 k=2k = 2k=2 进行轮调后，它将变成 [1,3,0,2,4][1,3,0,2,4][1,3,0,2,4]。这将记为 333 分，因为 1>01 > 01>0 [不计分]、3>13 > 13>1 [不计分]、0<=20 <= 20<=2 [计 111 分]、2<=32 <= 32<=3 [计 111 分]，4<=44 <= 44<=4 [计 111 分]。 在所有可能的轮调中，返回我们所能得到的最高分数对应的轮调下标 kkk 。如果有多个答案，返回满足条件的最小的下标 kkk 。

示例 1：

输入：nums = [2,3,1,4,0]

输出：3

解释：
下面列出了每个 k 的得分：
k = 0,  nums = [2,3,1,4,0],    score 2
k = 1,  nums = [3,1,4,0,2],    score 3
k = 2,  nums = [1,4,0,2,3],    score 3
k = 3,  nums = [4,0,2,3,1],    score 4
k = 4,  nums = [0,2,3,1,4],    score 3
所以我们应当选择 k = 3，得分最高。

示例 2：

输入：nums = [1,3,0,2,4]

输出：0

解释：
nums 无论怎么变化总是有 3 分。
所以我们将选择最小的 k，即 0。

提示：

• 1<=nums.length<=1051 <= nums.length <= 10^51<=nums.length<=105
• 0<=nums[i]<nums.length0 <= nums[i] < nums.length0<=nums[i]<nums.length

上下界分析 + 差分应用

为了方便，令 nnn 为 numsnumsnums 长度（中文的数据范围是错的，数组长度应该是 10510^5105，不是 200002000020000）。

对于给定的 numsnumsnums 而言，有效的轮调范围为 [0,n−1][0, n - 1][0,n−1]，即对于任意 nums[i]nums[i]nums[i] 而言，可取的下标共有 nnn 种。

假定当前下标为 iii，轮调次数为 kkk，那么轮调后下标为 i−ki - ki−k，当新下标为负数时，相当于 nums[i]nums[i]nums[i] 出现在比原数组更“靠后”的位置，此时下标等价于 (i−k+n)mod  n(i - k + n) \mod n(i−k+n)modn。

考虑什么情况下 nums[i]nums[i]nums[i] 能够得分？

首先新下标的取值范围为 [0,n−1][0, n - 1][0,n−1]，即有 0⩽i−k⩽n−10 \leqslant i - k \leqslant n - 10⩽i−k⩽n−1 。由此可分析出 kkk 的取值范围为：

即由新下标取值范围可知 kkk 的上下界分别为 iii 和 i−(n−1)i - (n - 1)i−(n−1)。

同时为了满足得分定义，还有 nums[i]⩽i−knums[i] \leqslant i - knums[i]⩽i−k，进行变形可得：

此时我们有两个关于 kkk 的上界 k⩽ik \leqslant ik⩽i 和 k⩽i−nums[i]k \leqslant i - nums[i]k⩽i−nums[i]，由于 nums[i]nums[i]nums[i] 取值范围为 [0,n)[0, n)[0,n)，则有 i−nums[i]⩽ii - nums[i] \leqslant ii−nums[i]⩽i，由于必须同时满足「合法移动（有效下标）」和「能够得分」，我们仅考虑范围更小（更严格）由 nums[i]⩽i−knums[i] \leqslant i - knums[i]⩽i−k 推导而来的上界 k⩽i−nums[i]k \leqslant i - nums[i]k⩽i−nums[i] 即可。

综上，nums[i]nums[i]nums[i] 能够得分的 kkk 的取值范围为 [i−(n−1),i−nums[i]][i - (n - 1), i - nums[i]][i−(n−1),i−nums[i]]。

最后考虑 [i−(n−1),i−nums[i]][i - (n - 1), i - nums[i]][i−(n−1),i−nums[i]]（均进行加 nnn 模 nnn 转为正数）什么情况下为合法的连续段：

• 当 i−(n−1)⩽i−nums[i]i - (n - 1) \leqslant i - nums[i]i−(n−1)⩽i−nums[i] 时，[i−(n−1),i−nums[i]][i - (n - 1), i - nums[i]][i−(n−1),i−nums[i]] 为合法连续段；
• 当 i−(n−1)>i−nums[i]i - (n - 1) > i - nums[i]i−(n−1)>i−nums[i] 时，根据负数下标等价于 (i−k+n)mod  n(i - k + n) \mod n(i−k+n)modn，此时 [i−(n−1),i−nums[i]][i - (n - 1), i - nums[i]][i−(n−1),i−nums[i]] 等价于 [0,i−nums[i]][0, i - nums[i]][0,i−nums[i]] 和 [i−(n−1),n−1][i - (n - 1), n - 1][i−(n−1),n−1] 两段。

至此，我们分析出原数组的每个 nums[i]nums[i]nums[i] 能够得分的 kkk 的取值范围，假定取值范围为 [l,r][l, r][l,r]，我们可以对 [l,r][l, r][l,r] 进行 +1+1+1 标记，代表范围为 kkk 能够得 111 分，当处理完所有的 nums[i]nums[i]nums[i] 后，找到标记次数最多的位置 kkk 即是答案。

标记操作可使用「差分」实现（不了解差分的同学，可以先看前置🧀：差分入门模板题，里面讲解了差分的两个核心操作「区间修改」&「单点查询」），而找标记次数最多的位置可对差分数组求前缀和再进行遍历即可。

代码：

class Solution {
    static int N = 100010;
    static int[] c = new int[N];
    void add(int l, int r) {
        c[l] += 1; c[r + 1] -= 1;
    }
    public int bestRotation(int[] nums) {
        Arrays.fill(c, 0);
        int n = nums.length;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int a = (i - (n - 1) + n) % n, b = (i - nums[i] + n) % n;
            if (a <= b) {
                add(a, b);
            } else {
                add(0, b);
                add(a, n - 1);
            }
        }
        for (int i = 1; i <= n; i++) c[i] += c[i - 1];
        int ans = 0, k = c[0];
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            if (c[i] > k) {
                k = c[i]; ans = i;
            }
        }
        return ans;
    }
}

• 时间复杂度：O(n)O(n)O(n)
• 空间复杂度：O(n)O(n)O(n)

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.798 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：github.com/SharingSour… 。

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