719. 找出第 K 小的数对距离 : 二分答案 + 双指针 check 运用题

题目描述

这是 LeetCode 上的 719. 找出第 K 小的数对距离 ，难度为 困难。

Tag : 「双指针」、「二分」

数对 (a,b)(a,b)(a,b) 由整数 a 和 b 组成，其数对距离定义为 a 和 b 的绝对差值。

给你一个整数数组 nums 和一个整数 kkk ，数对由 nums[i]nums[i]nums[i] 和 nums[j]nums[j]nums[j] 组成且满足 0<=i<j<nums.length0 <= i < j < nums.length0<=i<j<nums.length 。

返回 所有数对距离中 第 kkk 小的数对距离。

示例 1：

输入：nums = [1,3,1], k = 1

输出：0

解释：数对和对应的距离如下：
(1,3) -> 2
(1,1) -> 0
(3,1) -> 2
距离第 1 小的数对是 (1,1) ，距离为 0 。

示例 2：

输入：nums = [1,1,1], k = 2

输出：0

示例 3：

输入：nums = [1,6,1], k = 3

输出：5

提示：

• n==nums.lengthn == nums.lengthn==nums.length
• 2<=n<=1042 <= n <= 10^42<=n<=104
• 0<=nums[i]<=1060 <= nums[i] <= 10^60<=nums[i]<=106
• 1<=k<=n×(n−1)/21 <= k <= n \times (n - 1) / 21<=k<=n×(n−1)/2

二分 + 双指针

根据题意，由于对距离定义使用的是绝对值，因此从原数组中找数对 (i,j)(i, j)(i,j)，等价于在排序数组中找数对 (i,j)(i, j)(i,j)。

同时由于 kkk 的范围为 n2n^2n2，因此我们不能使用复杂度为 O(klog⁡n)O(k\log{n})O(klogn) 的「多路归并」做法来做。

利用数据范围 0<=nums[i]<=1060 <= nums[i] <= 10^60<=nums[i]<=106，我们知道距离值域范围为 [0,106][0, 10^6][0,106]，假设所能形成的距离序列为 A=a1,a2,...,amA = a_1, a_2, ... ,a_mA=a1​,a2​,...,am​，此时在以第 kkk 小的距离值为分割点的数轴上，具有「二段性」，记这第 kkk 小的距离值为 aka_kak​：

• 处于 aka_kak​ 右侧的所有位置 aia_iai​（包含 aka_kak​）必然满足「序列 AAA 中值小于等于 aia_iai​ 的数不少于 kkk 个」；
• 处于 aka_kak​ 左侧的所有位置 aia_iai​（不包含 aka_kak​）不一定满足「序列 AAA 中值小于等于 aia_iai​ 的数不少于 kkk 个」（当且仅当 aka_kak​ 在序列 AAA 中不重复，或 aka_kak​ 恰好是连续段距离值中的左端点时，必然不满足）。

因此这本质上是一个满足 1? 特性（而不是 10 特性）的问题，我们可以使用「二分」来找到 aka_kak​ 值。

假设当前我们二分到的值是 xxx，利用我们排序好的 nums，我们并不需要真正的构建出序列 AAA，即可统计值小于等于 xxx 的数量：枚举左端点 iii，每次找第一个不满足条件的右端点 jjj（由于 jjj 是第一个不满足条件的值，因此合法右端点范围为 [i+1,j−1][i + 1, j - 1][i+1,j−1]，共 j−i−1j - i - 1j−i−1 个），利用 nums 有序，并且所有 nums[i]nums[i]nums[i] 均为正数，可知 jjj 会随着 iii 增大而逐步增大，即这部分利用「双指针」可实现 O(n)O(n)O(n) 复杂度。

代码：

class Solution {
    public int smallestDistancePair(int[] nums, int k) {
        Arrays.sort(nums);
        int l = 0, r = (int)1e6;
        while (l < r) {
            int mid = l + r >> 1;
            if (check(nums, mid) >= k) r = mid;
            else l = mid + 1;
        }
        return r;
    }
    int check(int[] nums, int x) {
        int n = nums.length, ans = 0;
        for (int i = 0, j = 1; i < n; i++) {
            while (j < n && nums[j] - nums[i] <= x) j++;
            ans += j - i - 1;
        }
        return ans;
    }
}

• 时间复杂度：排序的复杂度为 O(nlog⁡n)O(n\log{n})O(nlogn)，二分答案复杂度为 O(nlog⁡m)O(n\log{m})O(nlogm)，其中 m=1e6m = 1e6m=1e6 为距离值域。整体复杂度为 O(nlog⁡m)O(n\log{m})O(nlogm)
• 空间复杂度：O(log⁡n)O(\log{n})O(logn)

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.719 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

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