【最小表示法】模板级运用的“困难”题

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2023年02月21日 22:05 · 阅读数 13

题目描述

这是 LeetCode 上的 899. 有序队列 ，难度为困难。

Tag : 「构造」、「最小表示法」

给定一个字符串 s 和一个整数 k 。你可以从 s 的前 k 个字母中选择一个，并把它加到字符串的末尾。

返回在应用上述步骤的任意数量的移动后，字典上最小的字符串。

示例 1：

输入：s = "cba", k = 1

输出："acb"

解释：
在第一步中，我们将第一个字符（“c”）移动到最后，获得字符串 “bac”。
在第二步中，我们将第一个字符（“b”）移动到最后，获得最终结果 “acb”。

示例 2：

输入：s = "baaca", k = 3

输出："aaabc"

解释：
在第一步中，我们将第一个字符（“b”）移动到最后，获得字符串 “aacab”。
在第二步中，我们将第三个字符（“c”）移动到最后，获得最终结果 “aaabc”。

提示：

1<=k <=S.length <=10001 <= k <= S.length <= 10001<=k <=S.length <=1000
s 只由小写字母组成。

最小表示法

当 k>1k > 1k>1 时，我们能够构造出任意的字符串方案，因此当 k>1k > 1k>1 时，我们可以直接通过对字符串排序来得到答案，复杂度为 O(nlog⁡n)O(n\log{n})O(nlogn)。

当 k=1k = 1k=1 时，我们共有 nnn 种候选方案（将字符串 s 看作一个首尾相接的循环字符串，共有 nnn 个起点可枚举），枚举过程中需要与当前最优的方案进行比较，比较复杂度为 O(n)O(n)O(n)，因此整体复杂度为 O(n2)O(n^2)O(n2)。

上述的做法已经可以通过本题，可以看出瓶颈在于对 k=1k = 1k=1 的处理。

而实际上，对于给定字符串 s，求其循环同构的所有方案中字典序最小的方案，可以使用「最小表示法」来做，复杂度为 O(n)O(n)O(n)。

最小表示法将「方案比较」与「构造更优方案」进行结合：假设我们当前有两字符串 a 和 b 需要进行比较，其均为原串 s 的循环同构具体方案。假设 a 和 b 分别对应了原串下标为 i 和 j 的具体方案，且假设两字符串前 kkk 个字符均相同。

当两字符串第一个不同的字符大小关系为 cs[i+k]>cs[j+k]cs[i + k] > cs[j + k]cs[i+k]>cs[j+k] 时，可以发现在下标范围 idx∈[i,i+k]idx \in [i, i + k]idx∈[i,i+k] 作为起点的新方案 a' 必然不会是最优方案，即必然存在下标范围 idx−i+jidx - i + jidx−i+j 作为起点的新方案 b' 比其更优，因此我们可以直接从 i+k+1i + k + 1i+k+1 位置构造新的更优方案，并与 b 再次比较。而 cs[i+k]<cs[j+k]cs[i + k] < cs[j + k]cs[i+k]<cs[j+k] 的分析同理。

更为直白的表述为：分别从 i 和 j 作为起点的字符串 a 和 b，其前 kkk 个字符相同，而当 cs[i+k]>cs[j+k]cs[i + k] > cs[j + k]cs[i+k]>cs[j+k] 时，我们可以明确「以 i+pi + pi+p 为起点的字符串」必不可能比「以 j+pj + pj+p 为起点的字符串」更优，其中 p∈[0,k]p \in [0, k]p∈[0,k]。

Java 代码：

class Solution {
    public String orderlyQueue(String s, int _k) {
        char[] cs = s.toCharArray();
        if (_k == 1) {
            int i = 0, j = 1, k = 0, n = cs.length;
            while (i < n && j < n && k < n) {
                char a = cs[(i + k) % n], b = cs[(j + k) % n];
                if (a == b) k++;
                else {
                    if (a > b) i += k + 1;
                    else j += k + 1;
                    if (i == j) i++;
                    k = 0;
                }
            }
            i = Math.min(i, j);
            return s.substring(i) + s.substring(0, i);
        } else {
            Arrays.sort(cs);
            return String.valueOf(cs);
        }
    }
}

TypeScript 代码：

function orderlyQueue(s: string, _k: number): string {
    if (_k == 1) {
        let i = 0, j = 1, k = 0, n = s.length
        while (i < n && j < n && k < n) {
            const a = s[(i + k) % n], b = s[(j + k) % n]
            if (a == b) k++;
            else {
                if (a > b) i += k + 1
                else j += k + 1
                if (i == j) i++
                k = 0
            }
        }
        i = Math.min(i, j)
        return s.substring(i) + s.substring(0, i)
    } else {
        return [...s].sort().join('');
    }
};

时间复杂度：当 k=1k = 1k=1 时，复杂度为 O(n)O(n)O(n)；当 k>1k > 1k>1 时，复杂度为 O(nlog⁡n)O(n\log{n})O(nlogn)
空间复杂度：当 k>1k > 1k>1 时，需要使用额外的排序空间 O(log⁡n)O(\log{n})O(logn)

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.899 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

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