【面试高频题】难度 2.5/5，综合贪心的序列 DP 题

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2023年02月10日 12:21 · 阅读数 17

题目描述

这是 LeetCode 上的 646. 最长数对链 ，难度为中等。

Tag : 「贪心」、「排序」、「二分」、「序列 DP」、「LIS」

给出 n 个数对。在每一个数对中，第一个数字总是比第二个数字小。

现在，我们定义一种跟随关系，当且仅当 b < c 时，数对 (c,d)(c, d)(c,d) 才可以跟在 (a,b)(a, b)(a,b) 后面。我们用这种形式来构造一个数对链。

给定一个数对集合，找出能够形成的最长数对链的长度。你不需要用到所有的数对，你可以以任何顺序选择其中的一些数对来构造。

示例：

输入：[[1,2], [2,3], [3,4]]

输出：2

解释：最长的数对链是 [1,2] -> [3,4]

提示：

给出数对的个数在 [1,1000][1, 1000][1,1000] 范围内。

排序 + 贪心 DP

起始先将 pairs 根据第一维排升序（或直接双关键字排升序）。

考虑定义 f[i]f[i]f[i] 为以 pairs[i]pairs[i]pairs[i] 为结尾的最长数对链长度，所有 f[i]f[i]f[i] 中的最大值为答案。

不失一般性考虑 f[i]f[i]f[i] 该如何转移：不难发现 f[i]f[i]f[i] 为所有满足「下标范围在 [0,i−1][0, i - 1][0,i−1]，且 pairs[j][1]<pairs[i][0]pairs[j][1] < pairs[i][0]pairs[j][1]<pairs[i][0]」条件的 f[j]+1f[j] + 1f[j]+1 的最大值。

但实际上，我们只需要从 j=i−1j = i - 1j=i−1 开始往回找，找到第一个满足 pairs[j][1]<pairs[i][0]pairs[j][1] < pairs[i][0]pairs[j][1]<pairs[i][0] 的位置 jjj 即可。

容易证明该做法的正确性：假设贪心解（该做法）找到的位置 jjj 不是最优位置，即存在比 jjj 更小的合法下标 j′j'j′ 满足 f[j′]>f[j]f[j'] > f[j]f[j′]>f[j]。根据我们的排序规则必然有 pairs[j′][0]<=pairs[j][0]pairs[j'][0] <= pairs[j][0]pairs[j′][0]<=pairs[j][0] 的性质，则可知 pairs[j]pairs[j]pairs[j] 必然可以代替 pairs[j′]pairs[j']pairs[j′] 接在原本以 pairs[j′]pairs[j']pairs[j′] 为结尾的最优数链上（最优数链长度不变，结果不会变差），则至少有 f[j′]=f[j]f[j'] = f[j]f[j′]=f[j]。

代码：

class Solution {
    public int findLongestChain(int[][] pairs) {
        Arrays.sort(pairs, (a,b)->a[0]-b[0]);
        int n = pairs.length, ans = 1;
        int[] f = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            f[i] = 1;
            for (int j = i - 1; j >= 0 && f[i] == 1; j--) {
                if (pairs[j][1] < pairs[i][0]) f[i] = f[j] + 1;
            }
            ans = Math.max(ans, f[i]);
        }
        return ans;
    }
}

时间复杂度：排序的复杂度为 O(nlog⁡n)O(n\log{n})O(nlogn)；不考虑剪枝效果 DP 复杂度为 O(n2)O(n^2)O(n2)。整体复杂度为 O(n2)O(n^2)O(n2)
空间复杂度：O(n)O(n)O(n)

排序 + 贪心 DP（优化转移）

根据上述分析，我们知道对于一个特定的 pairs[i]pairs[i]pairs[i] 而言，其所有合法（满足条件 pairs[j][1]<pairs[i][0]pairs[j][1] < pairs[i][0]pairs[j][1]<pairs[i][0]）的前驱状态 f[j]f[j]f[j] 必然是非单调递增的。

根据 LIS 问题的贪心解的思路，我们可以额外使用一个数组记录下特定长度数链的最小结尾值，从而实现二分找前驱状态。

具体的，创建 ggg 数组，其中 g[len]=xg[len] = xg[len]=x 代表数链长度为 lenlenlen 时结尾元素的第二维最小值为 xxx。

如此一来，当我们要找 f[i]f[i]f[i] 的前驱状态时，等价于在 ggg 数组中找满足「小于 pairs[i][0]pairs[i][0]pairs[i][0]」的最大下标。同时，我们不再需要显式维护 fff 数组，只需要边转移变更新答案即可。

不了解 LIS 问题的同学可以看前置 🧀 : LCS 问题与 LIS 问题的相互关系，以及 LIS 问题的最优解证明 🎉🎉🎉

代码：

class Solution {
    public int findLongestChain(int[][] pairs) {
        Arrays.sort(pairs, (a,b)->a[0]-b[0]);
        int n = pairs.length, ans = 1;
        int[] g = new int[n + 10];
        Arrays.fill(g, 0x3f3f3f3f);
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int l = 1, r = i + 1;
            while (l < r) {
                int mid = l + r >> 1;
                if (g[mid] >= pairs[i][0]) r = mid;
                else l = mid + 1;
            }
            g[r] = Math.min(g[r], pairs[i][1]);
            ans = Math.max(ans, r);
        }
        return ans;
    }
}

时间复杂度：排序的复杂度为 O(nlog⁡n)O(n\log{n})O(nlogn)；DP 复杂度为 O(nlog⁡n)O(n\log{n})O(nlogn)。整体复杂度为 O(nlog⁡n)O(n\log{n})O(nlogn)
空间复杂度：O(n)O(n)O(n)

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.646 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

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