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【面试高频题】难度 3/5，求 LCS 具体方案变形题

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题目描述

这是 LeetCode 上的 1092. 最短公共超序列 ，难度为 困难。

Tag : 「序列 DP」、「LCS」、「最长公共子序列」、「动态规划」、「构造」、「双指针」

给出两个字符串 str1 和 str2，返回同时以 str1 和 str2 作为子序列的最短字符串。如果答案不止一个，则可以返回满足条件的任意一个答案。

（如果从字符串 T 中删除一些字符（也可能不删除，并且选出的这些字符可以位于 T 中的 任意位置），可以得到字符串 S，那么 S 就是 T 的子序列）

示例：

输入：str1 = "abac", str2 = "cab"

输出："cabac"

解释：
str1 = "abac" 是 "cabac" 的一个子串，因为我们可以删去 "cabac" 的第一个 "c"得到 "abac"。 
str2 = "cab" 是 "cabac" 的一个子串，因为我们可以删去 "cabac" 末尾的 "ac" 得到 "cab"。
最终我们给出的答案是满足上述属性的最短字符串。

提示：

  • 1<=str1.length,str2.length<=10001 <= str1.length, str2.length <= 10001<=str1.length,str2.length<=1000
  • str1 和 str2 都由小写英文字母组成。

LCS 求具体方案 + 构造

为了方便，我们令 str1 为 s1，str2 为 s2，并将两者长度记为 nnn 和 mmm。

容易想到最终的方案必然是由三部分组成：两字符串的公共子序列（且必然是最长公共子序列）+ 两者特有的字符部分。

基于此，我们可以先使用对两者求 LCS，并在求具体方案时遵循：属于最长公共子序列的字符只添加一次，而特有于 s1 或 s2 的字符则独自添加一次。

求解 LCS 部分我们定义 f[i][j]f[i][j]f[i][j] 代表考虑 s1s1s1 的前 iii 个字符、考虑 s2s2s2 的前 jjj 的字符，形成的最长公共子序列长度（为了方便，令下标从 111 开始）。

当有了「状态定义」之后，基本上「转移方程」就是呼之欲出：

  • s1[i]==s2[j] : f[i][j]=f[i−1][j−1]+1f[i][j]=f[i-1][j-1]+1f[i][j]=f[i−1][j−1]+1。代表必然使用 s1[i]s1[i]s1[i] 与 s2[j]s2[j]s2[j] 时 LCS 的长度。
  • s1[i]!=s2[j] : f[i][j]=max(f[i−1][j],f[i][j−1])f[i][j]=max(f[i-1][j], f[i][j-1])f[i][j]=max(f[i−1][j],f[i][j−1])。代表必然不使用 s1[i]s1[i]s1[i]（但可能使用s2[j]s2[j]s2[j]）时 和 必然不使用 s2[j]s2[j]s2[j]（但可能使用s1[i]s1[i]s1[i]）时 LCS 的长度。

不了解 LCS 的同学可以看前置 🧀 : LCS 模板题

当预处理出动规数组 f 之后，我们使用「双指针」和「通用 DP 求具体方案」的做法进行构造：使用 i 变量指向 s1 的尾部（即起始有 i=ni = ni=n），使用 j 变量指向 s2 的尾部（即起始有 j=mj = mj=m），根据 i 和 j 当前所在位置以及 f[i][j]f[i][j]f[i][j] 从何值转移而来：

  1. 若 i 或 j 其一走完（i = 0 或 j = 0），将剩余字符追加到答案中；
  2. 当 f[i][j]=f[i−1][j−1]+1f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + 1f[i][j]=f[i−1][j−1]+1 且 s1[i]=s2[j]s1[i] = s2[j]s1[i]=s2[j] 时（可简化为 s1[i]=s2[j]s1[i] = s2[j]s1[i]=s2[j] 判断），此时 i 指向的字符和 j 指向的字符为相同，且为 LCS 中的字符，将其追加到具体方案，并让 i 和 j 同时后移；
  3. 当 f[i][j]=f[i−1][j]f[i][j] = f[i - 1][j]f[i][j]=f[i−1][j]，将 s1[i] 追加到答案中，令 i 后移；
  4. 当 f[i][j]=f[i][j−1]f[i][j] = f[i][j - 1]f[i][j]=f[i][j−1]，将 s2[j] 追加到答案中，令 j 后移。

当条件 3 和 4 同时满足时，由于只需要输出任一具体方案，我们任取其一即可。

最后，由于我们是从后往前进行构造，在返回时需要再进行一次翻转。

Java 代码：

class Solution {
    public String shortestCommonSupersequence(String str1, String str2) {
        int n = str1.length(), m = str2.length();
        str1 = " " + str1; str2 = " " + str2;
        char[] s1 = str1.toCharArray(), s2 = str2.toCharArray();
        int[][] f = new int[n + 10][m + 10];
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= m; j++) {
                if (s1[i] == s2[j]) f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + 1;
                else f[i][j] = Math.max(f[i - 1][j], f[i][j - 1]);
            }
        }
        StringBuilder sb = new StringBuilder();
        int i = n, j = m;
        while (i > 0 || j > 0) {
            if (i == 0) sb.append(s2[j--]);
            else if (j == 0) sb.append(s1[i--]);
            else {
                if (s1[i] == s2[j]) {
                    sb.append(s1[i]);
                    i--; j--;
                } else if (f[i][j] == f[i - 1][j]) {
                    sb.append(s1[i--]);
                } else {
                    sb.append(s2[j--]);
                }
            }
        }
        return sb.reverse().toString();
    }
}

TypeScript 代码：

function shortestCommonSupersequence(s1: string, s2: string): string {
    const n = s1.length, m = s2.length
    s1 = " " + s1; s2 = " " + s2
    const f = new Array<Array<number>>()
    for (let i = 0; i < n + 10; i++) f.push(new Array<number>(m + 10).fill(0))
    for (let i = 1; i <= n; i++) {
        for (let j = 1; j <= m; j++) {
            if (s1[i] == s2[j]) f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + 1
            else f[i][j] = Math.max(f[i - 1][j], f[i][j - 1])
        }
    }
    let ans = ""
    let i = n, j = m
    while (i > 0 || j > 0) {
        if (i == 0) ans += s2[j--]
        else if (j == 0) ans += s1[i--]
        else {
            if (s1[i] == s2[j]) {
                ans += s1[i]
                i--; j--
            } else if (f[i][j] == f[i - 1][j]) {
                ans += s1[i--]
            } else {
                ans += s2[j--]
            }
        }
    }
    return ans.split('').reverse().join('')
};

Python 代码：

class Solution:
    def shortestCommonSupersequence(self, s1: str, s2: str) -> str:
        n, m = len(s1), len(s2)
        s1 = " " + s1
        s2 = " " + s2
        f = [[0] * (m + 10) for _ in range(n + 10)]
        for i in range(1, n + 1):
            for j in range(1, m + 1):
                f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + 1 if s1[i] == s2[j] else max(f[i - 1][j], f[i][j - 1])
        ans = ""
        i, j = n, m
        while i > 0 or j > 0:
            if i == 0:
                ans += s2[j]
                j -= 1
            elif j == 0:
                ans += s1[i]
                i -= 1
            else:
                if s1[i] == s2[j]:
                    ans += s1[i]
                    i -= 1
                    j -= 1
                elif f[i][j] == f[i - 1][j]:
                    ans += s1[i]
                    i -= 1
                else:
                    ans += s2[j]
                    j -= 1
        return ans[::-1]
  • 时间复杂度：LCS 复杂度为 O(n×m)O(n \times m)O(n×m)；构造答案复杂度为 O(n×m)O(n \times m)O(n×m)。整体复杂度为 O(n×m)O(n \times m)O(n×m)
  • 空间复杂度：O(n×m)O(n \times m)O(n×m)

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.1092 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：github.com/SharingSour… 。

在仓库地址里，你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。

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转载自:https://juejin.cn/post/7144904504666914824
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