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数据结构与算法（十）图的入门

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图的实际应用

在现实生活中，有许多应用场景会包含很多点以及点点之间的连接，而这些应用场景我们都可以用即将要学习的图这种数据结构去解决。

地图

我们生活中经常使用的地图，基本上是由城市以及连接城市的道路组成，如果我们把城市看做是一个一个的点，把道路看做是一条一条的连接，那么地图就是我们将要学习的图这种数据结构。

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电路图

下面是一个我们生活中经常见到的集成电路板，它其实就是由一个一个触点组成，并把触点与触点之间通过线进行连接，这也是我们即将要学习的图这种数据结构的应用场景。

数据结构与算法（十）图的入门

图的定义及分类

图是由一组顶点和一组能够将两个顶点相连的边组成的。

数据结构与算法（十）图的入门

特殊的图

  1. 自环：即一条连接一个顶点和其自身的边；
  2. 平行边：连接同一对顶点的两条边；

数据结构与算法（十）图的入门

图的分类

按照连接两个顶点的边的不同（有没有方向），可以把图分为以下两种：

  • 无向图：边仅仅连接两个顶点，没有其他含义；
  • 有向图：边不仅连接两个顶点，并且具有方向；

无向图的相关术语

  • 相邻顶点：当两个顶点通过一条边相连时，我们称这两个顶点是相邻的，并且称这条边依附于这两个顶点。
  • 度：某个顶点的度就是依附于该顶点的边的个数。
  • 子图：是一幅图的所有边的子集(包含这些边依附的顶点)组成的图。
  • 路径：是由边顺序连接的一系列的顶点组成。
  • 环：是一条至少含有一条边且终点和起点相同的路径。

数据结构与算法（十）图的入门

  • 连通图：如果图中任意一个顶点都存在一条路径到达另外一个顶点，那么这幅图就称之为连通图。
  • 连通子图：一个非连通图由若干连通的部分组成，每一个连通的部分都可以称为该图的连通子图。

数据结构与算法（十）图的入门

无向图的存储结构

要表示一幅图，只需要表示清楚以下两部分内容即可：

  1. 图中所有的顶点；
  2. 所有连接顶点的边；

常见的图的存储结构有两种：邻接矩阵和邻接表。

邻接矩阵

  1. 使用一个V * V的二维数组int[V][V] adj，把索引的值看做是顶点；
  2. 如果顶点v和顶点w相连，我们只需要将adj[v][w]和adj[w][v]的值设置为1,否则设置为0即可。

数据结构与算法（十）图的入门

很明显，邻接矩阵这种存储方式的空间复杂度是V^2的，如果我们处理的问题规模比较大的话，内存空间极有可能不够用。

邻接表

  1. 使用一个大小为V的数组Queue[V] adj，把索引看做是顶点；
  2. 每个索引处adj[v]存储了一个队列，该队列中存储的是所有与该顶点相邻的其他顶点。

数据结构与算法（十）图的入门

很明显，邻接表的空间并不是是线性级别的，所以后面我们一直采用邻接表这种存储形式来表示图。

无向图的实现

无向图的设计

类名Graph
构造方法Graph(int v)：创建一个包含v个顶点但不包含边的图
成员方法public int v()：获取图中顶点的数量public int e()：获取图中边的数量public void addEdge(int v, int w)：向图中添加一条边 v-wpublic Queue<Integer> adj(int v)：获取和顶点v相邻的所有顶点
成员变量private final int v：记录顶点数量private int e：记录边数量private Queue<Integer>[] adj：邻接表

代码实现

public class Graph {

    /**
     * 记录顶点数量
     */
    private final int v;

    /**
     * 记录边数量
     */
    private int e;

    /**
     * 邻接表
     */
    private Queue<Integer>[] adj;

    /**
     * 创建一个包含v个顶点但不包含边的图
     */
    public Graph(int v) {
        // 初始化顶点数量
        this.v = v;
        // 初始化边的数量
        this.e = 0;
        // 初始化邻接表
        this.adj = new Queue[v];
        for (int i = 0; i < adj.length; i++) {
            adj[i] = new Queue<>();
        }
    }

    /**
     * 获取图中顶点的数量<
     */
    public int v() {
        return v;
    }

    /**
     * 获取图中边的数量
     */
    public int e() {
        return e;
    }

    /**
     * 向图中添加一条边 v-w
     */
    public void addEdge(int v, int w) {
        // 在无向图中，边是没有方向的，所以，既要将w加入v的邻接表，也要将v加入w的邻接表
        adj[v].push(w);
        adj[w].push(v);
        e++;
    }

    /**
     * 获取和顶点v相邻的所有顶点
     */
    public Queue<Integer> adj(int v) {
        return adj[v];
    }

}

图的搜索

在很多情况下，我们需要遍历图，得到图的一些性质，例如，找出图中与指定的顶点相连的所有顶点，或者判定某个顶点与指定顶点是否相通，是非常常见的需求。

有关图的搜索，最经典的算法有深度优先搜索和广度优先搜索，接下来我们分别讲解这两种搜索算法。

深度优先搜索

所谓的深度优先搜索，指的是在搜索时，如果遇到一个结点既有子结点，又有兄弟结点，那么先找子结点，然后找兄弟结点。

数据结构与算法（十）图的入门

很明显，在由于边是没有方向的，所以，如果4和5顶点相连，那么4会出现在5的相邻链表中，5也会出现在4的相邻链表中，那么为了不对顶点进行重复搜索，应该要有相应的标记来表示当前顶点有没有搜索过，可以使用一个布尔类型的数组boolean[V] marked，索引代表顶点，值代表当前顶点是否已经搜索，如果已经搜索，标记为true，如果没有搜索，标记为false。

API设计

类名DepthFirstSearch
构造方法DepthFirstSearch(Graph g, int s)：构造深度优先搜索对象，使用深度优先搜索找出G图中s顶点的所有相通顶点
成员方法private void dfs(Graph g, int v)：使用深度优先搜索找出G图中v顶点的所有相通顶点public boolean marked(int w)：判断w顶点与s顶点是否相通public int count()：获取与顶点s相通的所有顶点的总数
成员变量private boolean[] marked：索引代表顶点，值表示当前顶点是否已经被搜索private int count：记录有多少个顶点与s顶点相通

代码实现

public class DepthFirstSearch {

    /**
     * 索引代表顶点，值表示当前顶点是否已经被搜索
     */
    private final boolean[] marked;

    /**
     * 记录有多少个顶点与s顶点相通
     */
    private int count;

    /**
     * 构造深度优先搜索对象，使用深度优先搜索找出G图中s顶点的所有相通顶点
     */
    public DepthFirstSearch(Graph g, int s) {
        this.marked = new boolean[g.v()];
        this.count = 0;
        // 搜索G图中与顶点s相同的所有顶点
        dfs(g, s);
    }

    /**
     * 使用深度优先搜索找出G图中v顶点的所有相通顶点
     */
    private void dfs(Graph g, int v) {
        // 把v顶点标识为已搜索
        marked[v] = true;
        // 遍历v顶点的邻接表，得到每一个顶点w
        for (var item : g.adj(v)) {
            // 如果当前顶点w没有被搜索过，则递归搜索与w顶点相通的其他顶点
            if (!marked[item]) {
                dfs(g, item);
            }
        }
        // 相通的顶点数量+1
        count++;
    }

    /**
     * 判断w顶点与s顶点是否相通
     */
    public boolean marked(int w) {
        return marked[w];
    }

    /**
     * 获取与顶点s相通的所有顶点的总数
     */
    public int count() {
        return count;
    }
}

测试代码

class DepthFirstSearchTest {

    @Test
    void test() {
        // 准备图
        var graph = new Graph(13);
        graph.addEdge(0, 5);
        graph.addEdge(0, 1);
        graph.addEdge(0, 2);
        graph.addEdge(0, 6);
        graph.addEdge(5, 3);
        graph.addEdge(5, 4);
        graph.addEdge(3, 4);
        graph.addEdge(4, 6);

        graph.addEdge(7, 8);

        graph.addEdge(9, 11);
        graph.addEdge(9, 10);
        graph.addEdge(9, 12);
        graph.addEdge(11, 12);

        var depthFirstSearch = new DepthFirstSearch(graph, 0);

        // 测试与某个顶点相通的数量
        assertEquals(7, depthFirstSearch.count());

        // 顶点5与顶点0是否相通
        assertTrue(depthFirstSearch.marked(5));
        // 顶点7与顶点0是否相通
        assertFalse(depthFirstSearch.marked(7));
    }

}

广度优先搜索

所谓的广度优先搜索，指的是在搜索时，如果遇到一个结点既有子结点，又有兄弟结点，那么先找兄弟结点，然后找子结点。

数据结构与算法（十）图的入门

API设计

类名BreadthFirstSearch
构造方法BreadthFirstSearch(Graph g, int s)：构造广度优先搜索对象，使用深度优先搜索找出G图中s顶点的所有相通顶点
成员方法private void bfs(Graph g, int v)：使用广度优先搜索找出G图中v顶点的所有相通顶点public boolean marked(int w)：判断w顶点与s顶点是否相通public int count()：获取与顶点s相通的所有顶点的总数
成员变量private boolean[] marked：索引代表顶点，值表示当前顶点是否已经被搜索private int count：记录有多少个顶点与s顶点相通private Queue<Integer> waitSearch：用来存储待搜索邻接表的点

代码实现

public class BreadthFirstSearch {

    /**
     * 索引代表顶点，值表示当前顶点是否已经被搜索
     */
    private final boolean[] marked;

    /**
     * 记录有多少个顶点与s顶点相通
     */
    private int count;

    /**
     * 用来存储待搜索邻接表的点
     */
    private final Queue<Integer> waitSearch;

    /**
     * 构造深度优先搜索对象，使用深度优先搜索找出G图中s顶点的所有相通顶点
     */
    public BreadthFirstSearch(Graph g, int s) {
        this.marked = new boolean[g.v()];
        this.count = 0;
        this.waitSearch = new Queue<>();

        // 搜索G图中与顶点s相同的所有顶点
        bfs(g, s);
    }

    /**
     * 使用深度优先搜索找出G图中v顶点的所有相通顶点
     */
    private void bfs(Graph g, int v) {
        // 把v顶点标识为已搜索
        marked[v] = true;

        // 让顶点v进入待搜索队列
        waitSearch.push(v);

        // 使用while循环从队列中拿出待搜索的顶点wait，进行搜索邻接表
        while (!waitSearch.isEmpty()) {
            var wait = waitSearch.pop();
            // 遍历wait顶点的邻接表，得到每一个顶点w
            for (var item : g.adj(wait)) {
                // 如果当前顶点w没有被搜索过，则递归搜索与w顶点相通的其他顶点
                if (!marked[item]) {
                    bfs(g, item);
                }
            }
        }
        // 相通的顶点数量+1
        count++;
    }

    /**
     * 判断w顶点与s顶点是否相通
     */
    public boolean marked(int w) {
        return marked[w];
    }

    /**
     * 获取与顶点s相通的所有顶点的总数
     */
    public int count() {
        return count;
    }
}

测试代码

class BreadthFirstSearchTest {

    @Test
    void test() {
        // 准备图
        var graph = new Graph(13);
        graph.addEdge(0, 5);
        graph.addEdge(0, 1);
        graph.addEdge(0, 2);
        graph.addEdge(0, 6);
        graph.addEdge(5, 3);
        graph.addEdge(5, 4);
        graph.addEdge(3, 4);
        graph.addEdge(4, 6);

        graph.addEdge(7, 8);

        graph.addEdge(9, 11);
        graph.addEdge(9, 10);
        graph.addEdge(9, 12);
        graph.addEdge(11, 12);

        var breadthFirstSearch = new BreadthFirstSearch(graph, 0);

        // 测试与某个顶点相通的数量
        assertEquals(7, breadthFirstSearch.count());

        // 顶点5与顶点0是否相通
        assertTrue(breadthFirstSearch.marked(5));
        // 顶点7与顶点0是否相通
        assertFalse(breadthFirstSearch.marked(7));
    }

}

案例-畅通工程

某省调查城镇交通状况，得到现有城镇道路统计表，表中列出了每条道路直接连通的城镇。省政府“畅通工程”的目标是使全省任何两个城镇间都可以实现交通（但不一定有直接的道路相连，只要互相间接通过道路可达即可）。目前的道路状况，9号城市和10号城市是否相通？9号城市和8号城市是否相通？

在我们的测试数据文件夹中有一个trffic_project.txt文件，它就是诚征道路统计表，下面是对数据的解释：

数据结构与算法（十）图的入门

总共有20个城市，目前已经修改好了7条道路，问9号城市和10号城市是否相通？9号城市和8号城市是否相通？

解题思路

创建一个图Graph对象，表示城市； 分别调用addEdge(0, 1)，addEdge(6, 9)，addEdge(3, 8)，addEdge(5, 11)，addEdge(2, 12)，addEdge(6, 10)，addEdge(4, 8)，表示已经修建好的道路把对应的城市连接起来；

通过Graph对象和顶点9，构建DepthFirstSearch对象或BreadthFirstSearch对象； 调用搜索对象的marked(10)方法和marked(8)方法，即可得到9和城市与10号城市以及9号城市与8号城市是否相通。

代码实现

/**
 * 案例-畅通工程
 */
@Test
void trafficProject() throws IOException {
	var br = new BufferedReader(new InputStreamReader(BreadthFirstSearchTest.class.getClassLoader().getResourceAsStream("traffic_project.txt")));
	// 读取第一行数据
	var totalNumber = Integer.parseInt(br.readLine());
	// 读取城市数目，初始化Graph图
	var graph = new Graph(totalNumber);
	// 读取第二行数据
	var roadNumber = Integer.parseInt(br.readLine());

	for (int i = 0; i < roadNumber; i++) {
		var line = br.readLine();
		var arr = line.split(" ");
		var p1 = Integer.parseInt(arr[0]);
		var p2 = Integer.parseInt(arr[1]);

		// 循环读取已经修建好的道路，并调用addEdge方法
		graph.addEdge(p1, p2);
	}

	// 根据图G和顶点9构建图的搜索对象
	var breadthFirstSearch = new BreadthFirstSearch(graph, 9);
	// 调用搜索对象的marked(10)方法和marked(8)方法
	var marked10 = breadthFirstSearch.marked(10);
	var marked8 = breadthFirstSearch.marked(8);

	// 还需要12条道路才能畅通
	LOGGER.info("9号城市和10号城市是否已相通：{}", marked10);
	LOGGER.info("9号城市和8号城市是否已相通：{}", marked8);
}

路径查找

在实际生活中，地图是我们经常使用的一种工具，通常我们会用它进行导航，输入一个出发城市，输入一个目的地城市，就可以把路线规划好，而在规划好的这个路线上，会路过很多中间的城市。

这类问题翻译成专业问题就是：从s顶点到v顶点是否存在一条路径？如果存在，请找出这条路径。

API设计

类名DepthFirstPaths
构造方法DepthFirstPaths(Graph g, int s)：构造深度优先搜索对象，使用深度优先搜索找出G图中起点为s的所有路径
成员方法private void dfs(Graph g, int v)：使用深度优先搜索找出G图中v顶点的所有相邻顶点public boolean hasPathTo(int v)：判断v顶点与s顶点是否存在路径public Stack pathTo(int v)：找出从起点s到顶点v的路径（就是该路径经过的顶点）
成员变量private boolean[] marked：索引代表顶点，值表示当前顶点是否已经被搜索private int s：起点private int[] edgeTo：索引代表顶点，值代表从起点s到当前顶点路径上的最后一个顶点

代码实现

我们实现路径查找，最基本的操作还是得遍历并搜索图，所以，我们的实现暂且基于深度优先搜索来完成。其搜索的过程是比较简单的。我们添加了edgeTo[]整型数组，这个整型数组会记录从每个顶点回到起点s的路径。

如果我们把顶点设定为0，那么它的搜索可以表示为下图：

数据结构与算法（十）图的入门

根据最终edgeTo的结果，我们很容易能够找到从起点0到任意顶点的路径。

public class DepthFirstPaths {

    /**
     * 索引代表顶点，值表示当前顶点是否已经被搜索
     */
    private final boolean[] marked;

    /**
     * 起点
     */
    private int s;

    /**
     * 索引代表顶点，值代表从起点s到当前顶点路径上的最后一个顶点
     */
    private final int[] edgeTo;

    /**
     * 构造深度优先搜索对象，使用深度优先搜索找出G图中起点为s的所有路径
     */
    public DepthFirstPaths(Graph g, int s) {
        // 创建一个和图的顶点数一样大小的布尔数组
        this.marked = new boolean[g.v()];
        // 创建一个和图顶点数一样大小的整型数组
        this.edgeTo = new int[g.v()];
        // 初始化顶点
        this.s = s;
        // 搜索G图中起点为s的所有路径
        dfs(g, s);
    }

    /**
     * 使用深度优先搜索找出G图中v顶点的所有相邻顶点
     */
    private void dfs(Graph g, int v) {
        // 把当前顶点标记为已搜索
        marked[v] = true;
        // 遍历v顶点的邻接表，得到每一个顶点w
        for (var w : g.adj(v)) {
            // 如果当前顶点w没有被搜索过，则将edgeTo[w]设置为v,表示w的前一个顶点为v，并递归搜索与w顶点相通的其他顶点
            if (!marked[w]) {
                // 到达顶点w的路径上的最后一个顶点是v
                edgeTo[w] = v;
                dfs(g, v);
            }
        }
    }

    /**
     * 判断v顶点与s顶点是否存在路径
     */
    public boolean hasPathTo(int v) {
        return marked[v];
    }

    /**
     * 找出从起点s到顶点v的路径（就是该路径经过的顶点）
     */
    public Stack<Integer> pathTo(int v) {
        if (!hasPathTo(v)) {
            return null;
        }
        // 创建路径中经过的顶点的容器
        var path = new Stack<Integer>();

        // 通过循环，从顶点v开始，一直往前找，直到起点为止
        for (var x = v; x != s; x = edgeTo[x]) {
            path.push(x);
        }
        path.push(s);
        return path;
    }

}

测试代码

class DepthFirstPathsTest {

    @Test
    void test() throws IOException {
        var br = new BufferedReader(new InputStreamReader(DepthFirstPathsTest.class.getClassLoader().getResourceAsStream("road_find.txt")));
        // 读取城市数目，初始化Graph图
        var graph = new Graph(Integer.parseInt(br.readLine()));
        // 读取城市的连通道路
        var roadNumber = Integer.parseInt(br.readLine());
        // 循环读取道路，并调用addEdge方法
        for (var i = 0; i < roadNumber; i++) {
            var arr = br.readLine().split(" ");
            var p = Integer.parseInt(arr[0]);
            var q = Integer.parseInt(arr[1]);
            graph.addEdge(p, q);
        }

        // 根据图G和顶点0路径查找对象
        var depthFirstPaths = new DepthFirstPaths(graph, 0);
        // 调用查找对象的pathTo(4)方法得到路径
        var path4 = depthFirstPaths.pathTo(4);
        var sb = new StringBuilder();
        for (var item : path4) {
            sb.append(item).append("-");
        }

        sb.deleteCharAt(sb.length() - 1);
        System.out.println("顶点0到顶点4的路径是：" + sb);
    }

}