夯实算法-编辑距离

题目：LeetCode

给你两个单词 word1 和 word2， 请返回将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数  。

你可以对一个单词进行如下三种操作：

• 插入一个字符
• 删除一个字符
• 替换一个字符

示例 1：

输入： word1 = "horse", word2 = "ros"
输出： 3
解释：
horse -> rorse (将 'h' 替换为 'r')
rorse -> rose (删除 'r')
rose -> ros (删除 'e')

示例 2：

输入： word1 = "intention", word2 = "execution"
输出： 5
解释：
intention -> inention (删除 't')
inention -> enention (将 'i' 替换为 'e')
enention -> exention (将 'n' 替换为 'x')
exention -> exection (将 'n' 替换为 'c')
exection -> execution (插入 'u')

提示：

• 0 <= word1.length, word2.length <= 500
• word1 和 word2 由小写英文字母组成

解题思路

根据题意要理解编辑距离的概念，如果字串A，添加3个字符变为B，那么A到B的编辑距离就是3。如果一个字串为空，那么编辑距离就是另一个字串的长度。

状态转移方程 取 mmm为字串word1的长度，n 为word2的长度。这个问题是可以转化为子问题的。所以： 记 f(i,j)为字串1的前 i 个字符，与字串2的前 j 个字符的最短编辑距离，那么 f(m,n)就是整个问题的解。

需要注意，这里的两个参数不是常规下标，它是字符的个数，因此，i∈[0,m]，j∈[0,n] 特别情况：f(i,0)=i, f(0,j)=j 

如前所述，当一个为空时，最小编辑距离就是另外一个的长度。

代码实现

public int minDistance(String word1, String word2) {
    final int m = word1.length();
    final int n = word2.length();

    // If one of them is empty, minD is another's len
    if (m * n == 0) {
        return m + n;
    }

    int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        dp[i][0] = i;
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            dp[0][j] = j;
            int left = Math.min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]);
            int right = dp[i - 1][j - 1];
            if (word1.charAt(i - 1) == word2.charAt(j - 1)) {
                right--;
            }
            dp[i][j] = Math.min(left, right) + 1;
        }
    }

    return dp[m][n];
}

复杂度分析

• 空间复杂度：O(n)O(n)O(n)
• 时间复杂度：O(n2)O(n^2)O(n2)