夯实算法-Nim游戏

题目：LeetCode

你和你的朋友，两个人一起玩 Nim 游戏：

桌子上有一堆石头。 你们轮流进行自己的回合， 你作为先手 。 每一回合，轮到的人拿掉 1 - 3 块石头。 拿掉最后一块石头的人就是获胜者。 假设你们每一步都是最优解。请编写一个函数，来判断你是否可以在给定石头数量为 n 的情况下赢得游戏。如果可以赢，返回 true；否则，返回 false 。

示例 1：

输入：n = 4
输出：false 
解释：以下是可能的结果:
1. 移除1颗石头。你的朋友移走了3块石头，包括最后一块。你的朋友赢了。
2. 移除2个石子。你的朋友移走2块石头，包括最后一块。你的朋友赢了。
3.你移走3颗石子。你的朋友移走了最后一块石头。你的朋友赢了。
在所有结果中，你的朋友是赢家。

示例 2：

输入：n = 1
输出：true

示例 3：

输入：n = 2
输出：true

解题思路

从第一步开始分析，对于当前先手来说：

• 如果剩余的石头为0，则当前先手必败。
• 如果剩余石头为1-3，则当前先手必胜。

但现在有n个石头，如何判断先手是必胜还是必败？其实画个图很容易分析：

• 当前先手对应n个石头，后手就对应n-1、n-2、n-3三种集合的石头
• 每个集合一定都会对应必胜或者必败
• 因此可以得到这样一个递推关系：

只有当n-1、n-2、n-3三种集合都必胜时，n对应的集合才必败。因为不管n走哪条路，都一定对应着后手必胜，也就是对应着先手必败。

而但凡后手对应的n-1、n-2、n-3三种集合有一种对应的是必败，先手都一定是必胜。因为玩家是绝对聪明的，一定会走让后手必败的路线。

代码实现

public boolean canWinNim(int n) {
    boolean[] dp = new boolean[4];
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        boolean ret = true;
        ret &= dp[(i - 1) % 4];
        if(i >= 2) {
            ret &= dp[(i - 2) % 4];
        }
        if(i >= 3) {
            ret &= dp[(i - 3) % 4];
        }
        dp[i % 4] = !ret;
    }
    return dp[n % 4];
}

复杂度分析

• 空间复杂度：O(1)O(1)O(1)
• 时间复杂度：O(N)O(N)O(N)